Rock et Science

Fundamentem każdej odpowiednio zaawansowanej technologii są nauki podstawowe. Niestety jednak, umiejętność posługiwania się nowymi zdobyczami techniki powszechnie nie idzie w parze ze zrozumieniem zasad ich funkcjonowania. I nie chodzi mi tu o szczegóły techniczne danego urządzenia, znajomość tych jest przeciętnemu użytkownikowi zbyteczna, lecz o ideę, na której dane rozwiązanie się opiera. A to uważam jest istotne, chociażby po to, by we współczesnym technologicznym świecie nie czuć się zdezorientowanym i móc w pełni czerpać z jego dobrodziejstw. Dla przykładu, tak prosta rzecz jak żarówka. Przez lata, intuicyjne rozumienie jej działania nie stanowiło dla nikogo większego problemu. Jednakże dzisiaj, “żarówka” to już najczęściej nie lampa żarowa lecz lampa LED. Bez wątpienia, odsetek osób rozumiejących zasadę emisji światła z lampy LED (rekombinacja promienista par elektron-dziura w półprzewodnikowym złączu p-n) jest dużo niższy niż to miało miejsce w przypadku standardowych lamp żarowych (promieniowanie termiczne rozgrzanej przez przepływ prądu skrętki).

To właśnie chęć przyczynienia się do zmiany tego stanu rzeczy była jednym z zamysłów które skłoniły mnie do podjęcia się prowadzenia tego bloga. Wyszedłem z założenia, iż sytuację tę można niejako obrócić na korzyść nauk podstawowych. Bo przecież, chęć (czy też potrzeba) zrozumienia otaczających nas technologii stanowi doskonały punkt wyjścia do głębszej refleksji nad zasadami stojącymi za ich funkcjonowaniem. W ten sposób, możemy dzisiaj stosunkowo łatwo dotrzeć do fundamentalnych koncepcji naukowych oraz praw natury, których przyswojenie, bez technologicznego kontekstu byłoby znacznie trudniejsze i dla wielu z nas mniej ciekawe. W części z moich kolejnych wpisów będę starał się podążać tą ścieżką, biorąc “na warsztat” nowoczesne technologie i odsłaniając ich naukowy rdzeń.

Jednymi z tych technologii które powszechnie uważane są szczególnie trudne, są technologie rakietowe. Inżynierię rakietową (ang. rocket science) przyjęło się wręcz traktować jako synonim czegoś niezwykle skomplikowanego. Wbrew tej opinii, podstawy fizyczne działania rakiet są stosunkowo proste.

Ponieważ żyjemy w czasach niezwykłego ożywienia w obszarze eksploracji kosmosu (tzw. NewSpace) a media zalewają nas doniesieniami o startach nowych rakiet, eksploracji Marsa i nadchodzącej erze turystyki kosmicznej, podstawy rocket science najzwyczajniej warto znać. Wychodząc naprzeciw tej potrzebie, poniżej, postaram się podsumować najistotniejsze aspekty fizyczne działania rakiet. Swoją uwagę skoncentruję tutaj na najpopularniejszym typie rakiet kosmicznych, wykorzystującym chemiczne silniki rakietowe.

W największym uproszczeniu, rakieta porusza dzięki wyrzucanym z silnika rakietowego gazom spalinowym. Działa tu efekt odrzutu, będący konsekwencją zasady zachowania pędu. Rakieta zyskuje pęd równy co do wartości i kierunku, lecz o przeciwnym zwrocie do pędu wyrzucanych spalin. Im większa prędkość wyrzucanego gazu, tym też większy jest jego pęd. Do osiągnięcia odpowiedniej prędkości rakiety, ważne jest by gazy spalinowe wyrzucane były z rakiety odpowiednio szybko, a to (w chemicznym silniku rakietowym) osiągane jest przez kontrolowany proces spalania mieszanki paliwowej w komorze spalania. Najpopularniej wykorzystywanym paliwem w przypadku rakiet na paliwo ciekłe są obecnie nafta, ciekły wodór oraz ciekły metan (fazy ciekłe mają dużo większą gęstość energii). Jako utleniacza (który jest niezbędny w celu osiągnięcia odpowiedniego tempa spalania) wykorzystywany jest natomiast skroplony tlen. Zachodząca w komorze spalania reakcja generuje ogromną temperaturę i ciśnienie. Przewężenie (ang. throat), pomiędzy komorą spalania a dyszą wylotową (ang. nozzle) to natomiast (zgodnie z równaniem Bernoulliego) miejsce w którym spada ciśnienie gazów, jego prędkość zaś szybko wzrasta (w kierunku dyszy), osiągając wartości supersoniczne. Wynika to z różnicy ciśnień pomiędzy komorą spalania a dyszą. Opisaną tu sytuację obrazuje poniższy schemat:

Rakieta

Przejdźmy teraz do podstawowych rozważań ilościowych. Będziemy musieli w tym celu posłużyć się elementami rachunku różniczkowego i całkowego. Czytelnika niezaznajomionego z tym działem matematyki zachęcam do szybkiego przyswojenia niezbędnej wiedzy w oparciu o Kurs Analizy Matematycznej na Khan Academy.

Oznaczmy przez $M$ masę rakiety a przez $m$ masę wyrzucanych produktów spalania. Tak, że rozważając infinitezymalne zmiany mas możemy zapisać $dM = - dm$ . Przez $v$ oznaczmy natomiast prędkość rakiety (dla uproszczenia rozważamy ruch w jednym kierunku). Dla uproszczenia przyjmijmy ponadto, że czynnik roboczy wyrzucany jest z silnika rakiety ze stałą, względem rakiety, prędkością $u$ . Przy tym założeniu, postarajmy się teraz wyznaczyć zmianę prędkości rakiety w rezultacie wyrzucenia produktów spalania o masie $dm$ .

W tym celu, rozważmy sytuację w której w chwili $t_1$ znajdujemy się w układzie spoczynkowym rakiety, w którym jej prędkość ( $v$ ) jaki i pęd ( $p = Mv$ ) są równe zeru. W infinitezymalnym przedziale czasu $dt$ (czyli do chwili $t_2=t_1+dt$ ) nastąpił wyrzut masy $dm$ , co spowodowało obniżenie masy rakiety do wartości $M-dm$ oraz wzrost jest prędkości od zera do $dv$ . Wyrzucane produkty spalania zyskują natomiast pęd $u dm$ . W konsekwencji, zmianę pędu $dp$ całego układu (rakieta oraz wyrzucane produkty spalania) możemy zapisać jako przyrost pędu rakiety pomniejszony o pęd wyrzucanych gazów:

$dp=(M-dm)dv-udm$ .

Pomijając wyraz wyższego rzędu $dm dv$ ( $dm$ jest infinitezymalnie małe, można je więc zaniedbać względem skończonego M), otrzymujemy poszukiwane wyrażenie:

$dp=Mdv-udm$ . (1)

Druga zasada dynamiki Newtona mówi nam, że zmiana pędu w czasie równa jest sile:

$\frac{dp}{dt}=F$ . (2)

W przypadku braku działania na układ sił zewnętrznych ( $F=0$ ) nie następuje zmiana jego pędu ( $dp=0$ ). W sytuacji takiej spełniona jest zasada zachowania pędu którą, w rozważanym przypadku, możemy wyrazić poprzez równanie:

$Mdv=udm$ , (3)

będące bezpośrednią konsekwencję równania (1). Przypadek z niezerową siłą (na przykład działającą na rakietę i gazy wylotowe siłą grawitacji lub/i siłą oporu aerodynamicznego) pozostawiamy Czytelnikowi do samodzielnej analizy. My zaś przejdźmy do prześledzenia konsekwencji równania (3):

Równanie Ciołkowskiego. Wykorzystując wyprowadzoną z zasady zachowania pędu zależność (3), czyli $M dv = u dm$ , oraz relację $dm = -dM$ otrzymujemy:

$dv = - u \frac{dM}{M}$ .

Całkując to wyrażenie w przedziale od masy początkowej $M_1$ do masy końcowej rakiety $M_2$ uzyskujemy wyrażenie na całkowitą zmianę prędkości rakiety:

$\Delta v = v_2-v_1 = \int_{v_1}^{v_2}dv= - u \int_{M_1}^{M_2} \frac{dM}{M} = u \ln \left(\frac{M_1}{M_2}\right)$ . (4)

Jest to sławny wzór Ciołkowskiego, opisujący zmianę prędkości rakiety $\Delta v$ spowodowaną wyrzutem masy ze stałą prędkością $u$ , od wartości $M_1$ do $M_2$ . Jako przykład zastosowania, wykorzystajmy równanie (4) do oszacowania ilości paliwa jakie należy spalić w rakiecie żeby osiągnąć pierwszą prędkość kosmiczną, czyli prędkość jaką musi zyskać rakieta aby mogła orbitować na niskiej orbicie okołoziemskiej. Prędkość ta wynosi $v_I = \sqrt{\frac{G M_z}{R_z}} \approx 7,9 \frac{km}{s} \approx 7900 \frac{m}{s}$ , gdzie $G$ to stała grawitacji, $M_z$ to masa Ziemi a $R_z$ to promień Ziemi. Typowe prędkości wyrzutu produktów spalania w rakietach na paliwo ciekłe to $u \sim 4000 \frac{m}{s}$ . Na podstawie równania (4), zmiana prędkości rakiety od $v=0$ do $v=v_I$ wiąże się (w rozważanym przypadku rakiety jednoczłonowej) z następującą zmianą masy rakiety:

$\frac{M_1}{M_2} = e^{v_I/u} \approx 7.2.$

Oznacza to, że aby rakieta mogła wejść na niską orbitę okołoziemską, paliwo oraz utleniacz muszą stanowić przynajmniej

$\frac{M_1-M_2}{M_1} \times 100 \% \approx 86 \%$

jej początkowej masy!

Przejdźmy teraz do zdefiniowania dwóch podstawowych parametrów silnika rakietowego, mianowicie siły ciągu praz impulsu właściwego. W tym celu, podstawmy do równania Newtona (2) wyrażenie na zmianę pędu (1). Otrzymamy wtedy:

$M\frac{dv}{dt}-u\frac{dm}{dt}=F$ ,

lub równoważnie

$M\frac{dv}{dt}=F+u\frac{dm}{dt}$ , (5)

czyli tak zwane równanie Mieszczerskiego. Lewa strona równania (5) to szkolne wyrażenie: masa $M$ pomnożona przez przyśpieszenie (ponieważ $a=\frac{dv}{dt}$ ), pojawiające się w równaniu Newtona dla punktu materialnego o stałej masie. W rozważanym przypadku, z uwagi na zmianę masy rakiety w czasie, otrzymujemy efektywnie dodatkowy przyczynek do siły działającej na rakietę równy $u\frac{dm}{dt}$ . Jest to tak zwana siła ciągu rakiety:

$F_c = u \frac{dm}{dt}$ . (6)

W rzeczywistych, chemicznych silnikach rakietowych istnieje jeszcze jeden przyczynek do siły ciągu. Wynika on z ciśnienia wywieranego przez wyrzucany z silnika gaz na wewnętrzną stronę dyszy wylotowej (patrz rysunek powyżej). Oznaczmy powierzchnię maksymalnego przekroju poprzecznego dyszy silnika przez $A$ . Od strony wewnętrznej, na dyszę działa siła $F_1=Ap_w$ , gdzie $p_w$ jest ciśnieniem wywieranym na dyszę przez gazy wylotowe. Po drugiej stronie dyszy panuje ciśnienie zewnętrzne $p_0$ , które wywiera na dyszę siłę $F_2=Ap_0$ . Z uwagi na różnicę ciśnień $p_w$ i $p_0$ , na dyszę (i w konsekwencji na rakietę) działa wypadkowa siła

$F_p =F_1-F_2=A(p_w-p_0)$ . (7)

Uwzględniając ten wkład w równaniu (5), możemy zapisać całkowitą siłę ciągu jako sumę wyrażeń (6) oraz (7):

$F_c = u \frac{dm}{dt} + A(p_w-p_0)$ . (8)

W oparciu o siłę ciągu możemy natomiast zdefiniować wielkość zwaną impulsem właściwym, opisującą zmianę pędu rakiety względem utraconej masy:

$I_{sp} := \frac{F_c dt}{g dm}= \frac{F_c}{g \dot{m}}$ , (9)

gdzie $g\approx 9,81 \frac{m}{s^2}$ jest przyśpieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Ziemi. Natomiast, $\dot{m} := \frac{dm}{dt}$ to strumień masy gazów wylotowych. Impuls właściwy wyrażany jest w sekundach. W celu lepszego zrozumienia definicji (9), warto rozważyć przypadek siły ciągu dany przez równanie (6), zaniedbujące przyczynek od ciśnienia wywieranego na dyszę przez gazy wylotowe. Podstawiając wyrażenie (6) do równania (9), otrzymujemy:

$I_{sp} = \frac{F_c}{g \dot{m}} =\frac{u \dot{m}}{g \dot{m}} = \frac{u}{g}$ . (10)

W tym wyidealizowanym przypadku, impuls właściwy jest więc innym sposobem wyrażenia prędkości wyrzucanego z silnika rakietowego czynnika roboczego (spalin).

spacex_its_raptor_engine_by_william_black-dajqa73 — Podstawowe parametry silnika rakietowego Raptor firmy SpaceX. Źródło

Jako przykład zastosowania wprowadzonych powyżej wielkości, rozważmy przygotowywany przez firmę SpaceX silnik Raptor. Silnik ten znajdzie zastosowanie w rakiecie Big Falcon Rocket (BFR), która zostanie wykorzystana do lotów na Księżyc oraz na Marsa. Silnik Raptor wykorzystuje jako paliwo ciekły metan, który wraz z ciekłym tlenem (pełniącym rolę utleniacza) tworzy tak zwany Methalox, o który pisałem w artykule Kosmiczna stacja paliw.

W przypadku silnika Raptor, planowany impuls właściwy na powierzchni Ziemi ma wynosić $I_{sp} \approx 334 s$ , zaś siła ciągu tego silnika ma sięgać $F_c \approx 3000 kN = 3 MN$ . Na tej podstawie, możemy oszacować masę wyrzucanego, w każdej sekundzie, czynnika roboczego (tzw. strumień masy). Posługując się równaniem (9), otrzymujemy:

$\dot{m} = \frac{F_c}{I_{sp} g} \approx 900 \frac{kg}{s}$ .

A więc, w każdej sekundzie pracy, z jednego silnika wyrzucana jest prawie tona spalin, generujących ciąg rakiety. Pierwszy człon rakiety BFR ma mieć aż 31 takie silniki (we wcześniejszych planach liczba ta wynosiła 42). Mieszczące się, w pierwszym członie rakiety BFR około 3000 ton mieszanki paliwowej, pozwolą więc na pracę silników przez około dwie minuty pracy, przy pełnym ciągu. Ponadto, wykorzystując równanie (10) możemy oszacować prędkość gazów wylotowych

$u \approx I_{sp}g \approx 3300 \frac{m}{s}$ ,

czyli około 10 M. Warto podkreślić, że prędkość ta stanowi jedynie około $10^{-5}$ prędkości światła ( $c \approx 300\ 000\ 000 \frac{m}{s}$ ). Dużo większe prędkości wyrzucanej materii, a tym samym większe impulsy właściwe osiągane są w przypadku silników jonowych lub plazmowych. W ich przypadku, impuls właściwy może osiągać wartość kilku tysięcy sekund. Idąc dalej, coraz śmielej brane są obecnie pod uwagę silniki w których czynnikiem roboczym jest promieniowanie powstałe w wyniku anihilacji materii z antymaterią. Czyli tak zwane silniki na antymaterię, w których źródłem zmiany pędu rakiety są fotony poruszające się z prędkością światła (i posiadające pęd $p = \hslash \omega$ ). Taki czynnik roboczy wymaga jednakże uwzględnienia efektów relatywistycznych, przewidywanych przez szczególną teorią względności Einsteina. W konsekwencji, w przypadku takim, wyprowadzone powyżej równanie Ciołkowskiego, należy zmodyfikować do tak zwanego równania rakiety relatywistycznej. To jednak nie koniec podróży w jaką może nas zabrać studiowanie fizyki silników rakietowych. Rozważania egzotycznych napędów rakietowych, takich jak chociażby napęd Alcubierre’a, są fantastyczną okazją do zagłębienia się we współczesną fizykę teoretyczną, czyli fizykę świata przyszłości.