W 1948-tym roku, w artykule Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Richard Feynman wprowadził nowatorskie podejście do mechaniki kwantowej, oparte o tak zwane całki po trajektoriach. W jego oryginalnym sformułowaniu, amplituda prawdopodobieństwa przejścia cząstki punktowej z pozycji w chwili  do pozycji w chwili wyraża się poprzez następującą całkę:

,

gdzie to tak zwane działanie, będące funkcjonałem trajektorii od punktu do punktu . Działanie wyraża się poprzez funkcję Lagrange’a (lagranżjan) w następujący sposób:

.

Sformułowanie całek po trajektoriach mówi nam, że amplituda prawdopodobieństwa (tzw. propagator) jest całką (sumą) po czynnikach fazowych dla wszystkich możliwych trajektorii biegnących od do . Praktyka wygląda jednak nieco inaczej i w obliczeniach uwzględniane są zazwyczaj jedynie trajektorie które nie łamią przyczynowości (kauzalności).  Są to trajektorie które, w swoje drodze od do  , nie cofają się nigdy wstecz w czasie.  Obrazuje to rysunek poniżej:

Niebieskie krzywe na powyższym rysunku to trajektorie kauzalne. Dla tych trajektorii, w dowolnej chwili czasu, np. dla , cząstka istnieje tylko w jednym miejscu, oznaczonym jako szary punkt. Dla porównania, czerwona krzywa przedstawia trajektorię akauzalną, dla której, w przedziale od do , następuje cofanie się w czasie. Alternatywnie, możemy tę trajektorię zinterpretować w następujący sposób: Mianowicie, idąc w przód w czasie, od  aż do chwili ,  mamy jedną cząstkę. Natomiast, w chwili  następuje kreacja cząstki i antycząstki. Przy czym, antycząstka porusza się wstecz w czasie i anihiluje z wyjściową cząstką w chwili . Natomiast, powstała w chwili  cząstka podąża trajektorią kauzalną aż do . Uwzględnienie procesów kreacji i anihilacji cząsteczek wychodzi, jednakże, poza opis cząstkowy i wymaga odwołania się do opisu w języku kwantowej teorii pola. Opis całek po trajektoriach dla cząstek nie jest więc wystarczający do tego by opisać trajektorie akauzalne, dla których możemy w pewnych momentach (np. w chwili ) obserwować więcej niż jedną cząstkę (np. w chwili mamy ich 3). Warto tu wspomnieć, że Richard Feynman jeszcze w czasach przed powstaniem nowoczesnej kwantowej teorii pola (której sam był współtwórcą) zastanawiał się nad znaczeniem akauzalnych trajektorii.  Opisuje to James Gleick w książce biograficznej Feynmana pt. “Geniusz”. Feynman miał mianowicie pomysł, iż wszystkie cząstki i antycząstki danego typu (np. elektrony i pozytony) są częścią jednej bardzo długiej pozawijanej w czasoprzestrzeni trajektorii. Przy czym, jej częściom skierowanym w przód w czasie odpowiadają cząstki, natomiast odcinkom skierowanym w tył w czasie odpowiadają antycząstki. Zmiany zwrotu takiej trajektorii w czasie (tak jak w i na rysunku powyżej) interpretujemy zaś jako kreacja lub anihilacja par cząstka-antycząstka. Obraz ten możemy, jedynie do pewnego stopnia, zachować w ramach współczesnej kwantowej teorii pól. W szczególności, antycząstki faktycznie można opisywać jako poruszające się wstecz w czasie cząstki (w sensie zadziałania na stan cząstki operacjami inwersji w czasie oraz parzystości). Nie wchodząc w dalsze szczegóły pomysłu Feynmana, zwróćmy jeszcze jedynie uwagę na kwestię prędkości, czyli pochodnej położenia po czasie, . Na powyższym rysunku, różniczkowalność trajektorii  (brak “kolców”) powoduje, że zbliżając się do punktów w i dla (czerwonej) trajektorii akauzalnej, prędkość dąży do plus lub minus nieskończoności (w zależności od której strony dochodzimy do punktu zwrotu).  To zaś jest w sprzeczności ze Szczególną Teorią Względności która, poprzez lorentzowską geometrię czasoprzestrzeni Minkowskiego, wprowadza górne ograniczenie na prędkość rozchodzenia się informacji, równe prędkości światła w próżni.

Ograniczenie na prędkość propagacji nie istniałoby, gdyby czasoprzestrzeń posiadała geometrię euklidesową. Choć wiemy, że w rzeczywistości tak nie jest, okazuję się jednak, że przejście z czasoprzestrzeni Minkowkiego do przestrzeni euklidesowej ma znacznie na gruncie rozważań teoretycznych.  Mianowicie, rozpatrywanie euklidesowych wersji teorii pozwala na analizę tak zwanych instantonów. Są to, dla cząstek,  rozwiązania w odwróconej studni potencjału, czyli w obszarach do których klasyczne cząstki nie mają dostępu. Rozważanie instantonów, w szczególności, pozwala wyznaczać prawdopodobieństwa tunelowania kwantowego.

Technicznie, przejście z czasoprzestrzeni Minkowskiego do przestrzeni euklidesowej możemy przeprowadzić za pomocą  obrotu Wicka.  Jest to przykład tak zwanego przedłużenia analitycznego, rozszerzającego rzeczywistą zmienną czasową do dziedziny liczb zespolonych.  W tym szczególnym przypadku, dokonujemy zamiany , gdzie jest naszą nową (euklidesową) zmienną czasową, zaś to jednostka urojona (). Obrót Wick ma bardzo ważne znacznie w podejściu całek po trajektoriach. Przekształca on mianowicie zespoloną całkę do postaci przypominającej rzeczywistą sumę statystyczną (ang. partition function), rozważaną w fizyce statystycznej.  Co więcej, okazuje się, że jeśli rozważymy szczególny typ trajektorii w których wracamy do wyjściowego położenia po czasie , (gdzie to stała Boltzmanna) całka po trajektorii da nam dokładnie funkcję rozdziału dla temperatury :

,

gdzie to tzw. działanie euklidesowe. Natomiast, przy całkowaniu , spełniony jest warunek . Jest to ważny wynik gdyż pozwala rozpatrywać  całki po trajektoriach jako pewne układy statystyczne i stosować do ich obliczania metody znane z fizyki statystycznej. W szczególności, chodzi o symulacje komputerowe oparte na metodach Monte Carlo. Stan równowagi termodynamicznej takiego układu można natomiast związać z euklidesową trajektorią klasyczną (minimalizującą działanie ). Fluktuacje termiczne dualnego systemu statystycznego odpowiadają zaś fluktuacjom kwantowym wokół rozważanej wyjściowo trajektorii klasycznej.

Powyższe rozważania możemy zastosować nie tylko do cząstek, ale również do pól fizycznych, takich jak pole grawitacyjne. W przypadku grawitacji, całki po trajektoriach pozwalają analizować możliwe efekty kwantowej natury zjawisk grawitacyjnych. Jednym z najlepiej zbadanych podejść do grawitacji kwantowej, bazującym na całkach po trajektoriach, są tak zwane Kauzalne Dynamiczne Triangulacje (ang. Causal Dynamical Triangulations – CDT), wprowadzone przez Jana Ambjørna, Jerzego Jurkiewicza oraz Renate Loll i rozwijane już przez ponad 20 lat.  W przypadku tym, zamiast cząstki, rozważamy konfigurację pola grawitacyjnego, której odpowiada geometria przestrzenna. Rozważania w  ramach CDT przeprowadzono najpierw dla przypadku modelu przestrzeni jednowymiarowej, po czym uogólniono je do dwóch oraz, finalnie, trzech wymiarów przestrzennych.

Ewolucji geometrii przestrzennej w czasie, odpowiada geometria czasoprzestrzenna. Konfiguracje czasoprzestrzenne, łączące dwa brzegowe (początkowy i końcowy) stany geometrii przestrzennej są zaś naszymi nowymi trajektoriami (analogicznie do przypadku rozważanej wcześniej cząstki punktowej).  Działaniem które należy rozważyć w całkach po trajektoriach jest tak zwane działania Hilberta-Einsteina, z którego można wyprowadzić (korzystając z zasady najmniejszego działania) równania ogólnej teorii względności (OTW). Do działania grawitacyjnego, można również dodać wkład odpowiadający polom materii, co jednak wprowadza dodatkowe komplikacje. W związku z tym, w przeprowadzonych dotychczas rozważaniach, koncentrowano się na tzw. przypadku próżniowym, uwzględniającym kontrybucję od (dodatniej) stałej  kosmologicznej . Całkowite działanie ma, w tym przypadku, postać:

,

gdzie całkowanie odbywa się po rozmaitości z brzegami czasowymi oraz . Natomiast, to stała Newtona, jest skalarem krzywizny Ricciego, oznacza zaś wyznacznik z metryki czasoprzestrzennej .

W przypadku CDT, powyższe działanie poddawane jest obrotowi Wicka, umożliwiając przejście do geometrii euklidesowej. Z jednej strony, zabieg taki przeprowadza zespolony propagator do postaci rzeczywistej funkcji rozdziału, prowadząc do wspomnianego związku z fizyką statystyczną. Z drugiej jednak strony, geometria czasoprzestrzenna pozbawiana  zostaje stożków świetlnych, co pozwala na obecność akauzalnych wkładów do całki po trajektoriach.  Idea CDT opiera się na narzuceniu kauzalności trajektorii, pomimo rozważania teorii, wydawałoby się, euklidesowej. Wprowadzenie warunku kauzalności usuwa z całki po trajektoriach “gałęzie” odchodzące z głównego “pnia” czasoprzestrzeni łączącej stan początkowy ze stanem końcowym . Przedstawiono to na poniższym rysunku:

Jedynie w przypadku jednowymiarowej części przestrzennej możliwe okazało się uzyskanie amplitud prawdopodobieństwa w oparciu o obliczenia analityczne. Zbadania przypadków wyżej-wymiarowych, w tym tego odpowiadającego  czterowymiarowej czasoprzestrzeni, wymaga zastosowania metod numerycznych. Przeprowadzenie symulacji kwantowych ciągłych geometrii wymaga jednakże ich wcześniejszej dyskretyzacji, w celu zredukowania liczby stopni swobody. W praktyce, stosowana jest tak zwana dyskretyzacja Regge, bazująca na triangulacji ciągłej geometrii czasoprzestrzennej. Przygotowana w ten sposób dyskretna geometria, wraz z dyskretną wersją działania, stanowi punkt wyjścia do przeprowadzenia symulacji komputerowych.

Narzucenie na (dyskretne) trajektorie warunku kauzalności, przekłada się na zachowanie w czasie ich topologii. Na przykład, jeśli wyjściowa geometria przestrzenna posiada topologię okręgu (jak na rysunku powyżej), pozostaje nią w całym toku ewolucji. Złamanie kauzalności, poprzez  pojawienie się odnóg, powoduje że topologia przestrzenna ulega zmianie, na przykład poprzez rozszczepienie okręgu na dwa okręgi. Sytuację taką widzimy w dolnej części, umieszczonego powyższej, rysunku.

Najbardziej zaawansowane na świecie symulacje CDT przeprowadzane są od wielu lat w Zakładzie Teorii Układów Złożonych w Instytucie Fizyki  na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie. W symulacjach tych, przyjmuje się topologię przestrzenną 3-sfery (), bądź też trójwymiarowego torusa (). Przy czym, przypadek topologii 3-sfery został, jak dotąd, najlepiej przebadany i na dyskusji, otrzymanych dla niego, wyników się tutaj skupimy.

Pierwszym ważnym rezultatem przeprowadzonych symulacji jest wykazanie istnienia nietrywialnej struktury fazowej czasoprzestrzeni. Zagadnie to dyskutuję w moim wcześniejszym wpisie  “Stany skupienia grawitacji“. Jedna z obserwowanych faz, tak zwana faza C, odpowiada przypadkowi semi-klasycznemu, który koresponduje z rozwiązaniami klasycznej OTW. Ważną własnością fazy C jest to, że jej wymiar,  na odpowiednio dużych skalach, równy jest 4, co jest zgodne z przypadkiem czterowymiarowej czasoprzestrzeni w której żyjemy. Jednakże, analiza tak zwanego wymiaru spektralnego (ang. spectral dimension), wskazuje na to że wymiar spada kiedy rozpatrujemy odpowiednio małe skale przestrzenne i czasowe [Ambjorn, Jurkiewicz & Loll (2005)]. Jest to tak zwana redukcja wymiarowa, spotykana również w innych podejściach do kwantowej grawitacji. Redukcja wymiarowa wskazuje na to, że choć na odpowiednio dużych skalach geometria fazy C zgodna jest z euklidesową wersją czasoprzestrzeni de Sittera, to jednak na małych skalach wykazuje ona naturę kwantową. Dlatego też, określamy ją mianem semi-klasycznej, czyli korespondującej z fizyką klasyczną, jednakże wciąż wykazującą pewne własności kwantowe. Poniżej przedstawiono jak wygląda przykładowa semi-klasyczna trajektoria otrzymana w ramach komputerowych symulacji CDT.

Jak należy rozumieć przedstawiony powyżej kształt? Po pierwsze, uściślijmy, że oś symetrii rotacyjnej powyższej geometrii odpowiada czasowi urojonemu . Po drugie, w czasie tym narzucony jest symetryczny warunek brzegowy , wymagany w przypadku przejścia od całek po trajektoriach do funkcji rozdziału .

Okazuje się, że otrzymany kształt dla trajektorii semi-klasycznej (odpowiadającej stanowi równowagi termodynamicznej w ujęciu fizyki statystycznej) zgodny jest z rozwiązaniem dla klasycznego instantonu de Sittera. Instanton ten jest euklidesową trajektorią (pod barierą potencjału) dla modelu de Sittera w zakresie czynnika skali , gdzie . Aby otrzymać równanie trajektorii instantonowej, rozważmy wszechświat de Sittera (metryka FRW z dodatnią stałą kosmologiczną oraz dodatnią krzywizną przestrzenną), dla którego równanie Friedmanna przyjmuje postać:

.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja hiperboliczna . Jest to przykład nieosobliwej ewolucji, reprezentującego wszechświat ulegający najpierw kontrakcji, aż do minimalnej wartości czynnika skali równej  , po czym następuje etap ekspansji. Zarówno kontrakcja jak i ekspansja przebiegają w sposób wykładniczy.

Niedozwolonym obszarem dla wprowadzonego powyżej przypadku lorentzowkiego jest przedział czynnika skali , znajdujący się pod barierą potencjału dla tego modelu. Jednakże, dokonując  obrotu Wicka przekształcamy rozwiązanie w postaci funkcji cosinus hiperboliczny do funkcji cosinus:

,

tak, że . Jest to poszukiwane rozwiązanie euklidesowe, dla obszaru pod barierą potencjału modelu lorentzowskiego. Ponieważ czynniki skali jest zdefiniowany jako wartość nieujemna, rozwiązanie instantonowe jest dobrze określone w  skończonym przedziale czasu urojonego:  . Znając ewolucję czynnika skali możemy wyznaczyć również ewolucję objętości, która wyraża się jako  . Okazuje się, że funkcja ta jest zgodna z wynikami symulacji przeprowadzonymi w ramach CDT. Mówiąc ściślej, pokrywa się ona z, otrzymaną z uśrednienia po trajektoriach, zależnością objętości części przestrzennej od czasu [Ambjorn, Jurkiewicz & Loll (2004)].

Pokrywanie się przewidywań CDT z klasyczną geometrią przestrzeni de Sittera to bardzo istotny rezultat. Pokazuje on, że jednorodna i izotropowa klasyczna czasoprzestrzeń może wyłonić się jako wynik uśrednienia kwantowych (często bardzo niejednorodnych) trajektorii. Ponadto, w przeciągu ostatnich lat pokazano, że również przewidywane w ramach CDT fluktuacje kwantowe instantonu są z godne z przewidywaniami analitycznymi bazującymi o model de Sittera [Ambjorn, Gorlich, Jurkiewicz & Loll (2008)]. Wyniki te, jak również rezultaty dotyczące struktury fazowej grawitacji oraz redukcji wymiarowej, dają impuls do tego by zacząć myśleć o weryfikacji empirycznej przewidywań CDT. O ile trudno tu mówić o wykorzystaniu naziemnych eksperymentów, to przewidywania dotyczące kosmologii wczesnego wszechświata rodzą pewne nadzieje na narzucenie więzów obserwacyjnych na przewidywania CDT.

Pierwszy krok w tym kierunku poczyniłem w moim artykule From causal dynamical triangulations to astronomical observations, EPL 119 (2017) no. 6, 60003 [arXiv:1503.08794], w którym rozważałem możliwość wykorzystania obserwacji mikrofalowego promieniowania tła do badania, przewidywanej w ramach CDT,  redukcji wymiarowej. Jak pokazały obliczenia, pewne szczególne (mało prawdopodobne) scenariusze ewolucji wczesnego wszechświata, uwzględniające przewidywania CDT, już dzisiaj można wykluczyć na postawie obserwacji astronomicznych. Dokonanie znaczącego postępu w tym kierunku w najbliższych latach, nie będzie jednak zadaniem łatwym.

Niezależnie jednak od możliwości weryfikacji empirycznej, zaawansowane symulacje komputerowe kwantowej czasoprzestrzeni, prowadzone w ramach Kauzalnych Dynamicznych Triangulacji, dają nam unikalną możliwość zrozumienia tego jak klasyczna czasoprzestrzeń może wyłaniać się z dynamiki ogromnej liczby kwantowych “cegiełek” na skali Plancka. Wszak jak pozostawił napisane na swojej tablicy Richard Feynman: “What I cannot create, I do not understand.”

© Jakub Mielczarek