Month: December 2018

Zwarte przestrzenie fazowe

jakub mielczarekLeave a comment

Jednym z zagadnień, nad którym obecnie pracuję, jest konstrukcja teorii pól z tak zwanymi zwartymi przestrzeniami fazowymi. Teorie takie są uogólnieniem powszechnie rozważanych w fizyce teoretycznej teorii z afinicznymi (płaskimi) przestrzeniami fazowymi. Kierunek badawczy związany z uzwarcaniem przestrzeni fazowych pól fizycznych zainicjowaliśmy, wspólnie z dr Tomaszem Trześniewskim, w 2016-tym roku w pracy “The Nonlinear Field Space Theory” Phys. Lett. B 759 (2016) 424 (open access). Badania te kontynuujemy obecnie w ramach grantu Sonata Bis 7 z NCN pt. “Teorie pola ze zwartymi przestrzeniami fazowymi − od grawitacji do układów złożonych”. Jednym z ambitnych celów tego projektu jest zbudowanie (kwantowej) teorii grawitacji, cechującej się zwartą przestrzenią fazową. O wynikach prowadzonych przez nas badań napiszę więcej w jednym z kolejnych wpisów. Tutaj zaś chciałbym przygotować niezbędną podbudowę teoretyczną do dyskusji  naszych dotychczasowych rezultatów. Przedstawię mianowicie ideę zwartej przestrzeni fazowej na przykładzie układu fizycznego z jednym stopniem swobody, co można uważać za teorię pola skalarnego w punkcie (w przestrzeni zerowymiarowej).

Rozważmy więc pojedynczy stopień swobody, opisywany zmienną q. Wartości q należą do, tak zwanej, przestrzeni konfiguracyjnej \mathcal{C}, którą wyjściowo przyjmijmy za zbiór liczb rzeczywistych, \mathcal{C} = \mathbb{R}. Zmienna q może więc przyjmować dowolną wartość z zakresu liczb rzeczywistych i opisywać stopień swobody wybranego układu fizycznego. Jeśli, na przykład, interpretujemy q jako wartość pola skalarnego w punkcie, to wybór \mathcal{C} = \mathbb{R} oznacza, że pole to może zmieniać swoją wartość w zakresie od - \infty do +\infty. Jeśli zaś q opisuje położenie cząstki, to wybór \mathcal{C} = \mathbb{R} mówi nam, że mamy do czynienia z ruchem w jednym wymiarze przestrzennym, po całej osi liczb rzeczywistych.

Do pełnego scharakteryzowani stanu cząstki nie wystarczy podanie jej położenia. Tak samo, do określenia stanu pola nie wystarczy znajomość jego wartości. W obydwu przypadkach, konieczne jest określenie również tego jak q zmienia się w czasie. Informację tę zawiera, sprzężony z q, pęd kanoniczny p. Pary (q,p) wyznaczają zaś punkty należące do, tak zwanej, przestrzeni fazowej \Gamma. Z geometrycznego punktu widzenia, przestrzeń fazowa jest zazwyczaj tzw. wiązką kostyczną do przestrzeni konfiguracyjnej:

\Gamma = T^*(\mathcal{C}) := \left\{ (q,p) : q \in \mathcal{C}, p \in T_q^*(\mathcal{C}) \right\} ,

gdzie T_q^*(\mathcal{C})  to przestrzeń kostyczna do przestrzeni \mathcal{C} w punkcie q. Dla rozważanego przypadku \mathcal{C} = \mathbb{R}, otrzymujemy \Gamma = T^*(\mathcal{C}) = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2, czyli płaszczyznę rzeczywistą. Dowolny punkt na tej płaszczyźnie reprezentuje stan układu klasycznego. Ewolucji układu w czasie odpowiadają zaś trajektorie (rysunek poniżej).

PhaseSpace
Przestrzeń fazowa \Gamma = T^*(\mathcal{C}) = \mathbb{R}^2, gdzie \mathcal{C}= \mathbb{R}.  T_{q_0}^*(\mathcal{C}) to przestrzeń kostyczna do przestrzeni \mathcal{C} w punkcie q_0. Wiązka kostyczna jest sumą rozłączną przestrzeni kostycznych dla wszystkich q_0 \in \mathcal{C}. Czarna trajektoria reprezentuje ewolucję układu w czasie. Niebieski punkt wskazuje na jednen ze stanów układu.

Istnieją jednak przypadki w których przestrzeni fazowej nie możemy wyrazić jako wiązki kostycznej  \Gamma = T^*(\mathcal{C}). Przykładem tego jest chociażby (zwarta) przestrzeń fazowa o geometrii sfery, którą przedyskutujemy dokładniej w dalszej części.  Przypadek ten wpisuje się natomiast w ogólną definicję przestrzeni fazowych, jako tak zwanych rozmaitości symplektycznych, czyli rozmaitości różniczkowych posiadających zamknięte formy różniczkowe

\omega = \frac{1}{2} \omega_{ij} dx^i \wedge dx^j,

gdzie, dla rozważanej wcześniej przestrzeni fazowej  \Gamma = \mathbb{R}^2, i =1,2 oraz x_1=q i x_2=p a forma różniczkowa przyjmuje postać \omega = dp \wedge dq. Symbol \wedge oznacza tak zwany iloczyn zewnętrzny (ang. exterior product) form różniczkowych, w rozważanym przypadku 1-formy dp oraz 1-formy dq. Zamkniętość  2-formy \omega oznacza zaś, że d\omega = d(dp \wedge dq) = 0. Niniejsza własność gwarantuje spełnienie tzw. tożsamości Jacobiego, która zaś implikuje łączność algebry Poissona. Algebra ta konstruowana jest w oparciu o nawias Poissona \{f,g\} :=\mathcal{P}^{ij}(\frac{\partial f}{\partial x^i})(\frac{\partial g}{\partial x^j}), gdzie \mathcal{P}^{ij} :=(\omega^{-1})^{ij} to tak zwany tensor Poissona, otrzymywany przez  odwrócenie formy symplektycznej \omega (co nie zawsze jest możliwe). Dla rozważanego przypadku \Gamma = \mathbb{R}^2, nawias ten wyraża się jako \{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}- \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q} , tak że dla pary kanonicznie sprzężonych zmiennych q i p otrzymujemy \{q, p\}=1. Wykorzystując nawias Poissona, możemy wprowadzić równanie Hamiltona \frac{df}{dt} = \{f, H\}+\frac{\partial f}{\partial t}, gdzie H jest tak zwaną funkcją Hamiltona (hamiltonianem), zaś f jest dowolną funkcją na przestrzeni fazowej. Równanie to opisuje ewolucję w czasie t układu fizycznego.

Płaskie (afiniczne) przestrzenie fazowe, tak  jak rozważany tu przypadek \Gamma = \mathbb{R}^2 mają szerokie zastosowanie do opisu świata fizycznego. Jednakże, w wielu przypadkach, nieograniczoność tych przestrzeni prowadzi do trudności. Na przykład,  w przypadku teorii pól, afiniczność przestrzeni fazowej przekłada się na nieograniczoność energii (hamiltonianu), będącej funkcją zmiennych fazowych. To zaś skutkuje możliwością pojawienia się niefizycznych nieskończoności. Lista potencjalnych problemów jest dłuższa. Możliwym sposobem na ich rozwiązanie jest uzwarcenie przestrzeni fazowej. Poniżej, przedstawię jak taka procedura  wygląda w przypadku \Gamma = \mathbb{R}^2 (płaszczyzna) uzwarconej do \Gamma = S^2 (sfera).

Rozważmy zatem sferyczną przestrzeń fazową, tak by w granicy gdy jej promień dąży do nieskończoności, odzyskiwać przypadek przestrzeni fazowej  \Gamma = \mathbb{R}^2. Innymi słowy, płaska przestrzeń fazowa będzie lokalnym przybliżeniem dla przestrzeni sferycznej,  w podobny sposób jak geometria euklidesowa jest lokalnym przybliżeniem dla (nieeuklidesowej) geometrii sferycznej.  Zamiast jednak rozważać kąty i długości, w przypadku przestrzeni fazowej obiektem naszego zainteresowania będzie forma symplektyczna \omega.

Naturalnym wyborem formy symplektycznej dla sfery jest 2-forma powierzchni \omega = S \sin \theta d \phi \wedge d \theta. Kąty \phi \in (-\pi, \pi] oraz \theta \in [0,\pi] to standardowe kąty w sferycznym układzie współrzędnych. Stała S została zaś wprowadzona ze względów wymiarowych, tak by forma symplektyczna  \omega miała wymiar powierzchni na płaszczyźnie fazowej 2D, czyli położenie razy pęd (= moment pędu). W celu wyrażenia tej formy poprzez zmienne q oraz p, wykorzystywane w przypadku \Gamma = \mathbb{R}^2, wykonajmy następującą zmianę zmiennych:

\phi = \frac{q}{R_1}  oraz  \theta = \frac{\pi}{2}-\frac{p}{R_2},

gdzie R_1 i R_2 to parametry wprowadzone ze względów wymiarowych. Stosując to do formy \omega = S \sin \theta d \phi \wedge d \theta, otrzymujemy:

\omega= \frac{S}{R_1R_2} \cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)dp\wedge dq.

Chcąc by w granicy R_1\rightarrow \infty oraz R_2 \rightarrow \infty, powyższa forma redukowała się do przypadku płaskiego, czyli \omega=dp\wedge dq, musimy przyjąć by S = R_1 R_2.

Sphere
Afiniczna (płaska) przestrzeń fazowa \Gamma = \mathbb{R}^2 może być rozpatrywana jako lokalne przybliżenie zwartej przestrzeni fazowej, na przykład o geometrii sfery \Gamma = S^2.

Spełnienie warunku poprawnej granicy afinicznej implikuje więc, że 2-forma \omega dla (zwartej) sferycznej przestrzeni fazowej ma postać:

\omega=\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)dp\wedge dq.

Podobnie, jak w rozważanym wcześniej przypadku \Gamma = \mathbb{R}^2, w oparciu o formę symplektyczną możemy wyznaczyć postać nawiasu Poissona dla sferycznej przestrzeni fazowej:

\{f,g\} =  \frac{1}{\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)}\left( \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}- \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}\right).

Różnica z przypadkiem \Gamma = \mathbb{R}^2 polega na obecności czynnika 1/\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big). W konsekwencji, nawias Poissona pomiędzy zmiennymi kanonicznymi przyjmuje postać \{q,p\} =  1/\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big).  Warto tu podkreślić, że zmienne q oraz p są dobrze zdefiniowane na sferze jedynie lokalnie.  Ich wartości nie zmieniają się na sferze w sposób ciągły. W szczególności, q \in (-\pi R_1, \pi R_1], tak że w puncie q= \pi R_1 następuje nieciągłość.  O ile, nie ma to znaczenia w przypadku kiedy rozważamy małe wartości q (w otoczeniu granicy afinicznej), tak w przypadku analizy globalnych własności sferycznej przestrzeni fazowej zasadne jest wprowadzenie zmiennych które zdefiniowane są w sposób globalny.  Naturalnym wyborem takich zmiennych jest parametryzacja sfery w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dowolny punkt na sferze może być więc wskazywany przez wektor \vec{S}=(S_x,S_y,S_z) o składowych:

S_x:= S \sin\theta \cos\phi = S \cos \left( \frac{p}{R_2} \right) \cos \left( \frac{q}{R_1} \right),

S_y:= S \sin\theta \sin\phi = S \cos \left( \frac{p}{R_2} \right) \sin \left( \frac{q}{R_1} \right),

S_z:= S \cos\theta = S \sin \left( \frac{p}{R_2} \right).

Przy czym, spełnione jest równanie sfery  \vec{S}\cdot\vec{S}= S_x^2+S_y^2+S_x^2=S^2. Wykorzystując nawias Poissona dla sferycznej przestrzeni fazowej, możemy teraz pokazać że składowe wektora \vec{S} spełniają następującą relacje:

\{S_x,S_y\} = S_z, \ \ \ \{S_z,S_x\} = S_y, \ \ \ \{S_y,S_z\} = S_x.

Jest to tak zwana algebra su(2).  Oznacza to, że składowe wektora \vec{S} są generatorami obrotów, co jest konsekwencją  symetrii sferycznej przestrzeni fazowej. Zgodnie więc z definicją,  wektor \vec{S}, którego składowe spełniają powyższą algebrę, nazywamy momentem pędu (lub spinem). Fakt, iż sferyczna przestrzeń fazowa jest przestrzenią fazową momentu pędu ma daleko idące konsekwencje. W szczególności, obserwacja, że sferyczna przestrzeń fazowa (momentu pędu lub spinu) może być lokalnie opisywana przez płaską przestrzeń fazową z jednym stopniem swobody stała się podstawą do wprowadzenia, przeze mnie w 2017-tym roku, tak zwanej Korespondencji Spin-Pole  (Spin-Field Correspondence).  Korespondencja ta wiąże, w granicy dużego spinu (S\rightarrow \infty), znane afiniczne teorie pola z układami spinowymi. W szczególności, jak pokazaliśmy z moimi współpracownikami z Uniwersytetu Fudan w Szanghaju w pracy  “Klein-Gordon field from the XXZ Heisenberg model” (przyjęte do druku w International Journal of Modern Physics D), pole skalarne Kleina-Gordona można otrzymać z łańcucha spinowego XX Heisenberga (model XXZ Heisenberga w granicy \Delta \rightarrow 0 parametru anizotropii).

Posłużyłem się powyżej określeniem spin, które zarezerwowane jest do określenia wewnętrznego momentu pędu cząstek, bezpośrednio związanego z jej kwantową naturą  i wyrażającego się w ułamkach (n/2, gdzie n = 0,1,2,3,\dots) zredukowanej stałej Plancka \hslash.  Jednakże, jak dotąd, nasze rozważania były skupione na analizie klasycznych przestrzeni fazowych, dla których wartość momentu pędu S pozostawała nieokreślona. Dla kompletności naszych rozważań, zakończymy więc naszą dyskusję zarysem analizy przypadku kwantowego. Mianowicie, w ujęciu kwantowym, stan układu nie jest opisywany przez punkt w przestrzeni fazowej lecz przez wektor w przestrzeni Hilberta (warto tu zaznaczyć, że w podejściu zwanym mechaniką kwantową na płaszczyźnie fazowej, stan kwantowy układu można związać z tak zwaną funkcją gęstości kwaziprawdopodbieństwa (funkcja Wignera) określoną na przestrzeni fazowej). Wymiar przestrzeni Hilberta, czyli ilość liniowo niezależnych wektorów bazowych, wiąże się natomiast z powierzchnią przestrzeni fazowej. Mianowicie, zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi nam, że iloczyn nieoznaczoności pomiarów q i p ograniczony jest od dołu w następujący sposób (dla przypadku płaskiej przestrzeni fazowej):

\Delta q \Delta p \geq \frac{\hslash}{2}.

Nie możemy dokładniej wyznaczyć więc klasycznego stanu stopnia swobody na płaszczyźnie fazowej niż jako powierzchni \sim \hslash. Do opisu układu, którego przestrzeń fazowa ma powierzchnię A potrzebujemy więc około A/\hslash niezależnych wektorów w przestrzeni Hilberta. W przypadku płaskiej przestrzeni fazowej, z uwagi na nieskończoność powierzchni, przestrzeń Hilberta musi więc posiadać nieskończony wymiar.  Jednakże, dla przypadku sfery \Gamma=S^2, powierzchnia przestrzeni fazowej jest równa:

A =  \int_{\Omega} \omega = 4 \pi S < \infty,

gdzie wykonano całkowani po pełnym kącie bryłowym \Omega. Wymiar przestrzeni Hilberta jest więc skończony i proporcjonalny do \sim S/\hslash. Ponieważ wymiar przestrzeni Hilberta jest liczbą naturalną, dozwolone są jedynie pewne wartości S, będące wielokrotnością stałej Plancka \hslash. Sama zwartość przestrzeni fazowej implikuje więc kwantowanie momentu pędu (spinu). Dokładny rachunek, wykorzystujący kwantowanie algebry su(2) lub też stosując tak zwane kwantowanie geometryczne sfery, mówi nam, że wymiar przestrzeni Hilberta dla spinu wyraża się jako \text{dim} H_s = 2s+1, gdzie s=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots. Natomiast, powierzchnia przestrzeni fazowej wyraża się jako  4 \pi S =4 \pi \hslash s .  Jeśli, na przykład, rozważymy spin elektronu, dla którego s=1/2, odpowiadająca mu powierzchnia przestrzeni fazowej będzie równa 2\pi \hslash.  

© Jakub Mielczarek

Esej o poznawaniu

jakub mielczarek1 Comment

Doświadczenie czegoś po raz pierwszy ekscytuje lub też spotyka się z brakiem naszej akceptacji dla rzeczy nowej. Powtarzanie zaś przyzwyczaja, prowadząc ostatecznie do znudzenia i zobojętnienia. Jakże ważne jest więc, by rzecz cenną dla naszego umysłu smakować po trochu, unikając poczucia sytości. Błędem i szkodą jest tym samym uczynienie wyjątkowości rzeczą powszednią. Choć powstrzymanie się przed taką pokusą nie jest sprawą prostą i wymaga nie lada dyscypliny.

Umysł ludzki szybko przyzwyczaja się do otoczenia, w którym przychodzi mu funkcjonować. Musi działać i walczyć o przetrwanie. Otoczenie, które prędzej czy później staje się tylko sceną, jest tłem dla aktywności decydujących o naszym losie.

Momentem, w którym to jednak scenografia, a nie sama życiowa rola, wręcz musi być obiektem naszego zainteresowania jest dzieciństwo. Wtedy też silnie kształtuje się świadomość, która osadza nas w otaczającej rzeczywistości. Tak, byśmy mogli w niej właściwie funkcjonować i odgrywać nasze życiowe role.

Umysł dziecka poznającego scenografię, w której przyjdzie mu kiedyś walczyć o swój los, pełen jest zachwytu i otwartości. Poczucie wstydu przed zadaniem niby zbyt naiwnego pytania jest mu obce. Wszak każda nowa informacja może uczynić przyszłe zmagania lżejszymi. Toteż umysł dziecka pytań zadaje co niemiara, równocześnie będąc uważnym obserwatorem swojego otoczenia.

Z czasem jednak uwaga ta zatraca się. Rytm dnia zarzyna narzucać jedynie podstawowy takt dla naszych działań. Cykliczność pór roku nabiera wymiaru praktycznego, sprowadzając się do tak prozaicznych czynności jak zmiana przyodziewku. Oswojenie się z faktem przemijalności życia narzuca zaś ramy czasowe dla naszej aktywności i wymusza przyjęcie różnych strategii radzenia sobie z tymi, niekoniecznie pożądanymi okolicznościami. O ile od czasu do czasu jakiś silny impuls potrafi ponownie wyrwać umysł ze sfery jego codziennej aktywności, o tyle są to zazwyczaj już jedynie epizody, zakończone szybkim powrotem do pewnego stanu ustalonego.

Jednym z najważniejszych pytań, jakie pojawia się w umyśle dziecka, jest to dotyczące przyczyny istnienia jego i świata, który je otacza. Nie dzieje się to jednak tak szybko. Umysł dziecka stopniowo rozszerza sferę swojej percepcji otoczenia. Jego cały świat to początkowo łóżeczko, w którym sypia. Z dnia na dzień poznaje pokój, a następnie – dom i podwórko. Poznawane jest kolejno miasto, a odleglejsze wyjazdy kształtują pojęcie kraju. Zabawa z globusem stopniowo przyzwyczaja do myślenia o świecie jako kuli, na powierzchni której żyjemy. Odpowiedzi na pytania dotyczące dwóch najbardziej wyraźnych obiektów na naszym niebie: słońca i księżyca pozwalają rozszerzyć percepcję dziecka o kolejny krok. Spektakularne zdjęcia galaktyk wzbudzają ciekawość do jeszcze potężniejszych skal. W małej główce dziecka zaczynają się kłębić myśli o czymś tak ogromnym, że nie jest w stanie nawet tego zobaczyć, a czego częścią przecież samo jest.

Pytanie dotyczące istnienia bierze swoje źródło również w innej obserwacji. Rzeczy z pozoru mogą istnieć, ale również nie istnieć. To samo dotyczy zdarzeń, które zachodzą lub też nie zachodzą. W pudełku dziecko znajduje cukierek lub też tego cukierka tam nie ma. Ludzie rodzą się i umierają. Słońce świeci w dzień i znika w nocy. A noc to ciemność.

Każdy, kto pamięta zabawę w chowanego lub też obserwował bawiące się w chowanego dzieci, mógł zauważyć bardzo charakterystyczne zachowanie. Mianowicie, małym dzieciom do schowania się wystarczy zasłonięcie oczu. Nie potrzebują znaleźć fizycznej kryjówki. W ich kształtującej się jeszcze świadomości doświadczenie ciemności w następstwie zasłonięcia oczu tożsame jest z brakiem ich obecności. Wydaje im się więc, że tym samym nie istnieją dla otoczenia i nie są widoczne dla współtowarzyszy zabawy.

Ciemność jest w umyśle dziecka tożsama z brakiem istnienia. I tak właśnie, jak dobrze pamiętam, wyobrażałem sobie nicość, będąc chłopcem.

black
Dziecięce wyobrażenie nieistnienia.

Dochodzimy tutaj do kluczowej kwestii. Otóż umysł dziecka w sposób, wydaje się, naturalny dochodzi do koncepcji przejścia pomiędzy nicością a istnieniem, która towarzyszy mu do życia dorosłego. Próba zrozumienia tego zagadnienia stała się źródłem wielu koncepcji metafizycznych, kształtujących świat, w którym żyjemy. Rozważania te przyczyniły się również do rozwoju myśli naukowej, będąc źródłem zarówno idei filozoficznych, jak i inspiracją do badań w obszarze nauk przyrodniczych. Wydaje się, że to właśnie chęć wniknięcia w głębię tego zagadnienia kierowała moimi decyzjami związanymi z podjęciem studiów i później pracą naukową w obszarze fizyki teoretycznej oraz kosmologii.

Trzeba tu podkreślić fakt, że jako ludzie mamy – chociaż bardzo rozwinięte, to jednak ograniczone – możliwości poznawcze. Staramy się zrozumieć przyrodę, wykorzystując pojęcia, które są przyswajalne dla naszej umysłowości. Wynikają one z naszego doświadczenia i ukształtowane zostały w okresie dorastania. W oparciu o nie budowany jest nasz obraz rzeczywistości. Trzeba sobie jednak zdawać sprawę z ich ograniczeń. Próba zrozumienia fundamentalnych warstw rzeczywistości wymaga niejako wyjścia poza granicę możliwości percepcji człowieka i posługiwania się nowymi, nieznanymi z życia codziennego pojęciami. Narzędzi, będących wytworem myśli ludzkiej, umożliwiających wykonanie kroku w przód dostarczają nam matematyka i fizyka.

Przywołane pojęcie „nieistnienia” jest zaś fizyce obce. W świecie fizycznym różne formy materii i energii mogą podlegać przeobrażeniom – tak zwanym procesom. Kiedy umieramy, atomy, z których jesteśmy złożeni, nie znikają. Przyjmują natomiast inną formę organizacji. Ponadto w trakcie naszego życia atomy te podlegają ciągłej wymianie. Jesteśmy więc procesami – nie zaś ustalonymi bytami. Nie zaobserwowano, by kiedykolwiek coś fundamentalnie przepadło, czyli przestało istnieć. Żaden eksperyment nie wykazał również, że cokolwiek pojawiło się w naszym rzeczywistym świecie znikąd, czyli że (z naszej perspektywy) wcześniej nie istniało. Mamy więc dowód na to, że różne formy energii i materii mogą istnieć. Obserwujemy je. Nie dysponujemy natomiast jakąkolwiek ewidencją tego, że cokolwiek może „nie istnieć”.

Czy więc naturalnym stanem rzeczy i w konsekwencji naszego świata, który się z tych rzeczy składa, jest po prostu istnienie? Chodź wciąż można czuć tutaj pewien dyskomfort – bo przecież, jak to wszystko po prostu istnieje? Nie musiało się skądś wziąć? Jednakże – rozumiejąc zarówno głębię świata fizycznego, jak i będąc świadomym granic naszych zdolności poznawczych – nie jest to dla mnie koncepcja na tyle abstrakcyjna, by nie móc jej zaakceptować. Jest, uważam, racjonalna. To znaczy, przy obecnym stanie wiedzy, jest to punk widzenia ze znanych mi najbardziej minimalistyczny. Nie wymagający odnoszenia się do koncepcji dalekich od weryfikowalnych.

Skoro więc pojecie „nieistnienia” nie ma fundamentalnego charakteru i nikt nigdy nie zaobserwował czegoś, co wcześniej nie istniało, w jakim celu posługiwać się takim pojęciem? Z pewnością jest ono wciąż przydatne w codziennej wymianie informacji, gdzie znaczenie tego słowa jest jasne i nie istnieje ryzyko nadużycia. W rozważaniach dotyczących spraw podstawowych należy się jednak wykazać dużą ostrożnością, gdyż istnieje uzasadnione ryzyko ekstrapolacji tego pojęcia poza obszar jego stosowalności – co niestety wciąż ma miejsce. Co więcej, jestem zdania, że posługiwanie się pojęciem „nieistnienia” w kontekście Wszechświata wprowadziło wiele, posługując się eufemizmem, nieporozumień. 

Czym więc zatem jest stan „istnienia”? Jest to rzeczywistość, którą uparcie staramy się zrozumieć. Wiemy jednak, że na przykład fizyka mikroświata (mechanika kwantowa) dopuszcza różne interpretacje tego, co możemy nazwać obiektywną rzeczywistością. Szczegółowe omówienie tego zagadnienia wychodzi jednak poza ramy tego eseju. W skali makroskopowej za roboczą definicję naszego istnienia możemy zaś przyjąć chociażby fakt czytania tego zdania.

Rekapitulując, to, że rzeczy istnieją, jest faktem empirycznym. Obserwujemy ich obecność zarówno bezpośrednio, za pomocą posiadanych przez nas zmysłów, jak również pośrednio, wykorzystując różnorakie urządzenia pomiarowe. Energia i materia mogą ulegać przekształceniom, ale nie giną i nie pojawiają się znikąd. Pojawienie się czegoś z niczego nie zostało nigdy zaobserwowane. Daje nam to podstawy do stwierdzenia, że: nieistnienie nie istnieje. Samo pojęcie „nieistnienia” pomimo swojej ograniczonej stosowalności wciąż może być z powodzeniem stosowane w wielu sytuacjach życia codziennego. Rozumiejąc to, nie pozostaje nam nic innego niż zaakceptować fakt istnienia Wszechświata.

© Jakub Mielczarek

“…Nothingness does not exist
No thing has ever become nothing
And nothing has never become something
What is has always been and will always be”

John Frusciante, After the Ending

Kwantowe cienie

jakub mielczarek1 Comment

Rzucany przez przedmiot cień nie zawsze daje nam właściwe wyobrażenie o naturze oświetlanego obiektu. Dowodzi tego chociażby twórczość duetu artystycznego Tim Noble i Sue Webster, której przykład pozwoliłem sobie zamieścić poniżej.

Real Life Is Rubbish
Tim Noble i Sue Webster Real Life Is Rubbish (2002). Źródło

Przyjrzymy się powyższemu zdjęciu trochę bliżej. Widzimy na nim stertę śmieci które, pod określonym kątem, rzucają cień dwojga ludzi – Twórców instalacji. Jednym z zamysłów Artystów było niewątpliwie to by wprowadzić nasz mózg w zakłopotanie, poprzez dwoistość interpretacji tego co widzimy. Co mianowicie jest pierwotne, czy są to sylwetki ludzi czy też oświetlane przedmioty? Oczywiście, z punktu widzenia fizyki , sprawa jest prosta, pierwotna jest sterta rupieci, natomiast cień jest wtórny, a ponadto nie jest on obiektem fizycznym. Wchodząc na warstwę czysto artystyczną, Twórcy skłaniają nas więc do interpretowania prawdziwego (fizycznego) życia jako nie wartego więcej niż to co zdołaliśmy wyrzucić. Świat alegorii nie rządzi się jednak prawami fizyki, przez co nieskrępowanie moglibyśmy kontynuować dalej nasze wywody na temat interpretacji i znaczeń. Jest to niewątpliwe zarówno przyjemne ćwiczenie naszej kreatywności oraz intelektualne wyzwanie. Chciałbym jednak żebyśmy, po tej małej rozgrzewce, wykorzystali nasze umysły do zastanowienia się nad tym czy skoro nie jeden cień to może większa ich ilość może nam pozwolić odsłonić naturę obiektu  który te cienie rzuca. Wyobraźmy sobie na przykład, że instalację Real Life Is Rubbish zaczynamy oświetlać pod innymi kątami. Otrzymane cienie nie będą miały już nic wspólnego z sylwetkami ludzi, mogą nie przypominać zupełnie niczego.  Czy istnieje jednak metoda na to by wykorzystując te dwuwymiarowe rzuty zrekonstruować trójwymiarowy kształt sterty śmieci? Okazuje się, że jest to możliwe, chociaż w przypadku nietransparentnych obiektów taka procedura ma swoje istotne ograniczenia. Transparentność przedmiotów zależy jednak w dużym stopniu od długości fali którymi je oświetlimy. Jeśli zamiast światła widzialnego użylibyśmy rentgenowskiego zakresu promieniowania elektromagnetycznego, na podstawie rzucanych przez przedmiot cienieni moglibyśmy zrekonstruować jego trójwymiarowy kształt. Metoda ta nazywa się tomografią i jest powszechnie stosowana w obrazowaniu medycznym.  Bodajże najpopularniejszym jej przykładem jest tomografia komputerowa (CT), pozwalająca dzięki obrazom (cieniom) rentgenowskim, otrzymanym pod różnym kątem, stworzyć trójwymiarowy obraz, na przykład mózgu (film poniżej).

Od strony matematycznej, zasada działania tomografii opiera się na tak zwanej transformacie Radona. Jest to operacja  która na podstawie dwuwymiarowych projekcji (cieni) pozwala odzyskać trójwymiarowy rozkład gęstości obiektu.

Podobną do tomografii komputerowej procedurę rekonstrukcji trójwymiarowego obrazu możemy przeprowadzić również w mikroskali – w świecie kwantowym. Nosi ona nazwę tomografii kwantowej.  Odpowiednikiem rozkładu gęstości jest tu tak zwana funkcja Wignera, którą otrzymujemy ze stanu  kwantowego | \Psi \rangle, lub ogólniej tak zwanej macierzy gęstości, która w przypadku stanów czystych (ang. pure states) może być wyrażona w następujący sposób: \hat{\rho} = | \Psi \rangle \langle \Psi |.  Na przykład, dla cząstki w jednym wymiarze funkcję Wignera W(x,p), gdzie x to położenie a p to pęd możemy zapisać jako

W(x,p) = \frac{1}{\pi \hslash} \int_{-\infty}^{+\infty} \langle x+y | \hat{\rho} | x-y \rangle e^{-2i py/\hslash} dy.

Z uwagi na ścisłą relację pomiędzy funkcją Wignera a macierzą gęstości, poprzez tomografię kwantową rozumiemy zrekonstruowanie, poprzez dokonanie odpowiednich pomiarów “kwantowych cieni” stanu układu kwantowego, jednego z tych dwóch obiektów.  Chciałbym Ci teraz drogi Czytelniku pokazać jak to wygląd w praktyce i w jaki sposób tomografię stanu kwantowego będziesz mogła lub mógł przeprowadzić samodzielnie, nie odchodząc nawet od komputera.  Choć świat kwantowy może Ci się jawić jako zupełnie niedostępny a wykonywanie w nim pomiarów jako coś mało realnego, dzięki rozwojowi technologii kwantowych możemy się dzisiaj do niego całkiem łatwo dostać.  Wszystko za sprawą dostępnego publicznie pięciokubitowego komputera kwantowego firmy IBM, do którego możesz uzyskać dostęp poprzez tę stronę internetową. Jako wstęp do zagadnienia komputerów kwantowych zachęcam Cię do zapoznania się z moim wcześniejszym wpisem Elementary quantum computing.  Zakładając, że jesteś uzbrojona/ny w podstawowe wiadomości dotyczące mechaniki kwantowej, chciałbym przejść do pokazania Ci jak przeprowadzić tomografię stanu kwantowego pojedynczego kubitu, czyli stanu

|\Psi \rangle = \alpha|0\rangle +\beta |1\rangle,

gdzie, \alpha, \beta \in \mathbb{C} (liczby zespolone), a warunek normalizacji stanu kwantowego \langle \Psi | \Psi \rangle = 1 implikuje, że |\alpha|^2+|\beta|^2=1. Kubit jest nośnikiem najmniejszej porcji informacji kwantowej (odpowiednik klasycznego bitu) i od strony matematycznej jest elementem dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb zespolonych, czyli tak zwanej przestrzeni Hilberta.

Zanim przejdziemy do przeprowadzenia pomiarów na kubicie wykorzystując komputer kwantowy IBM Q, wprowadźmy najpierw niezbędne podstawy teoretyczne. Po pierwsze, będziemy chcieli zrekonstruować macierz gęstości \hat{\rho}, która w przypadku kubitu jest macierzą 2\times2 i można ją wyrazić jako:

\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left( \hat{\mathbb{I}}+ \langle \hat{X}\rangle \hat{X}+ \langle \hat{Y}\rangle \hat{Y}+ \langle \hat{Z}\rangle \hat{Z}    \right) = \frac{1}{2}\left( \hat{\mathbb{I}}+\vec{S}\cdot \vec{\sigma}  \right) =\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1+\langle \hat{Z}\rangle & \langle \hat{X}\rangle-i\langle \hat{Y}\rangle \\ \langle \hat{X}\rangle+i\langle \hat{Y}\rangle   & 1-\langle \hat{Z}\rangle \end{array} \right) .

Powyżej, wprowadziłem operatory \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z}, którym w reprezentacji macierzowej odpowiadają tak zwane macierze Pauliego:

\hat{X} := \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1  \\ 1  & 0 \end{array} \right),  \ \  \hat{Y} := \sigma_y = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i  \\ i  & 0 \end{array} \right),  \ \ \hat{Z} := \sigma_z = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & -1 \end{array} \right) ,

składające się na wektor \vec{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).  Natomiast,  wektor \vec{S} = (\langle \hat{X}\rangle,\langle \hat{Y}\rangle,\langle \hat{Z}\rangle) złożony jest z wartości średnich które można obliczyć w oparciu o ogólne wyrażenie: \langle \hat{A}\rangle := \text{tr} (\hat{\rho} \hat{A}).

Po drugie, warto w tym momencie wprowadzić użyteczne pojęcie sfery Blocha. Mianowicie, jest to sfera jednostkowa która reprezentuje wszystkie możliwe stany kwantowe kubitu. Każdy punkt na tej sferze to inny stan kwantowy i wskazuje na niego wprowadzony powyżej wektor \vec{S}. Równanie sfery Blocha to więc \vec{S}\cdot \vec{S} = \langle \hat{X}\rangle^2+\langle\hat{Y}\rangle^2+\langle \hat{Z}\rangle^2=1. Warto zaznaczyć, że powyższe równanie sfery jest konsekwencją tego, iż \hat{\rho}=\hat{\rho}^2, co wynika z założenia dotyczącego czystości stanu kwantowego.

Bloch

Sferę Blocha wygodnie sparametryzować poprzez poprzez kąty \phi \in [0, 2 \pi) oraz \theta \in [0, \pi] tak, że stan kwantowy kubitu możemy z ich pomocą zapisać jako

| \Psi \rangle = \cos(\theta/2) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin (\theta/2)| 1 \rangle,

gdzie pominięty został nieistotny globalny czynnik fazowy. Tomografia stanu kwantowego kubitu równoważna jest ze znalezieniem składowych wektora \vec{S},  wskazującego na konkretny punk na sferze Blocha. Wektor ten jest obiektem który chcemy zrekonstruować, podobnie jak rozważany wcześniej oświetlany przedmiot. Korzystając z tej analogii, możemy obrazowo powiedzieć, że wektor Blocha \vec{S} “rzuca trzy cienie” będące jego składowymi (rzutami).  Tomografia stanu kwantowego wymaga określenia tych trzech składowych. Jednakże, w przypadku stanów czystych, długość wektora  \vec{S} jest równa jeden (spełnione jest równanie sfery \vec{S}\cdot \vec{S} = \langle \hat{X}\rangle^2+\langle\hat{Y}\rangle^2+\langle \hat{Z}\rangle^2=1) co wprowadza relację pomiędzy “cieniami”. W takim przypadku, wystarczy zmierzyć jedynie dwie spośród wszystkich trzech składowych. Trzeci rzut możemy zaś wyznaczyć z równania sfery Blocha.  Z uwagi na to, że w przypadku ogólnym, stan kwantowy poprzez jego oddziaływanie ze środowiskiem może nie być do końca czysty (staje się tak zwanym stanem mieszanym) zasadne jest by z góry nie dokonywać założenia o czystości stanu kwantowego.

Komputer kwantowy IBM, pracujący w oparciu  o tak zwane kubity nadprzewodzące, pozwala nam wykonać pomiary w bazie własnej operatora \hat{Z}.  Wielokrotne powtórzenie pomiarów w takiej bazie, dla każdorazowo przygotowanego na nowo takiego samego stanu kwantowego, pozwala wyznaczyć wartość średnią operatora \hat{Z} w tym stanie. Mianowicie, ponieważ \hat{Z}|0\rangle = |0\rangle oraz  \hat{Z} |1\rangle = -|1\rangle, otrzymujemy

\langle \hat{Z} \rangle = (\alpha^* \langle 0| +\beta^* \langle 1|)(\alpha|0\rangle -\beta |1\rangle) = |\alpha|^2-|\beta|^2 = P(0)-P(1),

gdzie wykorzystaliśmy ortonormalność stanów bazowych |0\rangle i |1\rangle. Poszukiwana średnia jest więc różnicą pomiędzy prawdopodobieństwami znalezienia układu w stanie |0\rangle a w stanie  |1\rangle. Wyznaczenie średnich \langle \hat{X} \rangle  oraz \langle \hat{Y} \rangle, niezbędnych do przeprowadzenia tomografii, nie jest już takie bezpośrednie. Należy mianowicie dokonać pomiarów w bazach własnych operatorów \hat{X}   oraz \hat{Y}. Jak pokażemy poniżej, można tego dokonać dokonując odpowiednich transformacji badanego stanu kwantowego.  Do tego celu będą nam pomocne dodatkowe operatory:

\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1  \\ 1  & -1 \end{array} \right), \ \ \ \hat{S} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & i \end{array} \right), \ \ \ \hat{S}^{\dagger} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & -i \end{array} \right) ,

pierwszy z nich to tak zwany operator Hadamarda, stowarzyszona z nim tak zwana bramka Hadamarda jest ważnym elementem w konstrukcji obwodów kwantowych. Operator \hat{S} to natomiast operator obrotu fazy o 90 stopni, natomiast \hat{S}^{\dagger} to jego sprzężenie hermitowskie.

Ponieważ jesteśmy już blisko momentu w którym zaczniemy dokonywać konkretnych pomiarów, zdecydujmy się na wybór stanu kwantowego który będziemy chcieli poddać tomografii. Mój wybór padł na stan:

| \Psi \rangle = \hat{T} \hat{H} | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle  \right),

dla którego wektor Blocha wskazuje, pod kątem \phi = 45^{\circ}, na punkt na  równiku na sferze Blocha. Natomiast, Ciebie drogi Czytelniku, po przeanalizowaniu poniższego przykładu,  zachęcam do eksperymentowania z wybranymi przez Ciebie stanami kwantowymi. Dodam jeszcze, że powyżej wykorzystałem operator \hat{T} zdefiniowany jest w następujący sposób:

\hat{T} := \sqrt{\hat{S}}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & e^{i \frac{\pi}{4}} \end{array} \right).

Dla wybranego przeze mnie stanu kwantowego, macierz gęstości przybiera postać:

\hat{\rho}_1 = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}  \\  \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{i}{\sqrt{2}}   & 1 \end{array} \right) .

Sprawdzenie tego pozostawiam jako zadanie dla Ciebie. Porównują elementy tej macierzy z wprowadzoną na wstępie ogólną postacią macierzy gęstości dla kubitu możemy odczytać, że wartości operatorów \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Y} mają w tym stanie następujące wartości:

\langle \hat{X} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}},  \ \ \langle \hat{Y} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \  \langle \hat{Z} \rangle = 0.

Przekonajmy się teraz na ile te przewidywania teoretyczne zgadzają się z pomiarami otrzymanymi w komputerze kwantowym charakteryzującym się błędami zarówno bramek kwantowych oraz odczytu jaki i wynikającymi z tak zwanej dekoherencji kwantowej, wprowadzającej mieszanie stanu kwantowego.

Pomiar \langle \hat{Z} \rangle

Poniżej, przedstawiono obwód kwantowy umożliwiający wytworzenie stanu | \Psi \rangle = \hat{T} \hat{H} | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle  \right), oraz wykonanie na nim pomiarów w bazie \{|0\rangle, |1 \rangle \}. Obwód taki możemy łatwo zbudować korzystając z kreatora dostępnego na stronie IBM Experience.

Tom-ZPowtarzając powyższy algorytm 1024 razy otrzymaliśmy  P(0)=0.567 oraz  P(1)=0.433, co pozwala wyznaczyć \langle \hat{Z} \rangle = P(0)-P(1)=0.134. Niepewność tego wyniku ma dwa źródła. Pierwsze jest związane z błędami instrumentalnymi pochodzącymi od błędów bramek, będącymi na poziomie 0.001 na bramkę jedno-kubitową, oraz błędami odczytu, który jest na poziomie 0.08. Drugie źródło niepewności jest związane ze statystyczną naturą mechaniki kwantowej. W  rozważanej sytuacji spodziewamy się, że z jednakowym prawdopodobieństwem będziemy otrzymywać jako wynik pomiaru stany |0\rangle oraz  |1\rangle. Zagadnienie oszacowania odpowiednich niepewności jest matematycznie równoważne do przypadku błądzenia przypadkowego w jednym wymiarze. Jeśli przez N_0 oznaczymy ilość wyników  |0\rangle a przez N_1 ilość wyników dla |1\rangle, tak, że N_0+N_1=N=1024, to odchylenie standardowe N_0 i N_1 wyniesie s=\sqrt{N/4}=16. Stąd, możemy wyznaczyć niepewność estymacji prawdopodobieństwa, wynikającą ze statystycznej natury mechaniki kwantowej na s/N = 1/\sqrt{4N} \approx 0.016. Sumaryczną niepewność pomiaru możemy więc określić na około 0.1, czyli około 10 \%.  Otrzymane wyniki, dla P(0) oraz P(1), są w granicach tej niepewności zgodne z teoretycznie przewidywanymi  wartościami.

Pomiar \langle \hat{X} \rangle

Wykonanie pomiaru wartości średniej \langle \hat{X} \rangle wymaga obrócenia układu tak żeby ustawić kierunek X wzdłuż osi Z. Można tego dokonać dzięki poniższej relacji operatorowej

\hat{X} = \hat{H} \hat{Z} \hat{H},

którą łatwo dowieść wykorzystując reprezentację macierzową zaangażowanych tu operatorów. Na tej podstawie, wartość średnią operatora \hat{X} w  stanie  |\Psi \rangle możemy wyrazić jako

\langle \hat{X} \rangle = \langle \Psi | \hat{X} |\Psi \rangle = (\langle \Psi | \hat{H}) \hat{Z} (\hat{H}|\Psi \rangle) .

Żeby więc obliczyć wartość  \langle \hat{X} \rangle należy na stan  |\Psi \rangle zadziałać operatorem \hat{H}, po czym wystarczy dokonać pomiarów w bazie operatora \hat{Z}. Ilustruje to poniższy obwód kwantowy:

Tom-XWykonując 1024 pomiary, zupełnie tak samo jak w przypadku \langle \hat{Z} \rangle, otrzymujemy  P(0)=0.870, P(1)=0.130, co pozwala nam wyznaczyć \langle \hat{X} \rangle = P(0)-P(1)=0.740. Rozważania dotyczące niepewności pomiaru są analogiczne jak w przypadku wyznaczania  \langle \hat{Z} \rangle.

Pomiar \langle \hat{Y} \rangle

Podobnie jak w przypadku pomiaru \langle \hat{X} \rangle, również wyznaczenie wartości średniej operatora \hat{Y} może zostać wykonana poprzez odpowiednią transformację stanu kwantowego. W tym przypadku, należy wykorzystać transformację:

\hat{Y} = (\hat{S} \hat{H}) \hat{Z}(\hat{S} \hat{H})^{\dagger} = (\hat{S} \hat{H}) \hat{Z}(\hat{H} \hat{S}^{\dagger}),

(udowodnij tę relację) na której podstawie:

\langle \hat{Y} \rangle = \langle \Psi | \hat{Y} |\Psi \rangle = (\langle \Psi | \hat{S} \hat{H}) \hat{Z} (\hat{H} \hat{S}^{\dagger}|\Psi \rangle).

W celu wyznaczenia wartość średniej \langle \hat{Y} \rangle musimy więc na otrzymany stan zadziałań najpierw operatorem \hat{S}^{\dagger}, następnie operatorem \hat{H}, po czym dokonać pomiarów w bazie operatora \hat{Z}, jak to przedstawiono na obwodzie poniżej:

Tom-Y

Stąd, postępując analogicznie jak w poprzednich przypadkach, otrzymujemy P(0)=0.837, P(1)=0.163, a to pozwala nam wyznaczyć  \langle \hat{Y} \rangle = P(0)-P(1)=0.674. Czym kończymy nasze pomiary. Pozostaje nam pozbierać otrzymane wyniki.

Zbierając wszystko razem  

Zbierając powyższe wyniki, otrzymujemy następujący wektor Blocha:

\vec{S} = (\langle \hat{X}\rangle,\langle \hat{Y}\rangle,\langle \hat{Z}\rangle) = (0.740,0.674,0.134),

którego kwadrat modułu \vec{S}\cdot \vec{S} \approx 1.02 co jest, w granicach błędu, zgodne z przypadkiem stanu czystego. Natomiast, otrzymana w wyniku przeprowadzonej tomografii macierz gęstości to

\hat{\rho}_2 = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1.134  & 0.740-i 0.674 \\ 0.740+i 0.674  & 0.866 \end{array} \right) .

Powszechnie stosowaną metodą ilościowego określenia zgodności dokonanej tomografii z wartością teoretyczną jest wyznaczenie tak zwanej wierności (ang. fidelity) zdefiniowanej w następujący sposób:

F(\hat{\rho}_1,\hat{\rho}_2):= \text{tr}\sqrt{\sqrt{\hat{\rho}_1}\hat{\rho}_2 \sqrt{\hat{\rho}_1}} .

Stosując powyższe wyrażenia do teoretycznie przewidzianej macierzy gęstości \rho_1 oraz macierzy gęstości otrzymanej w wyniku procedury tomografii \rho_2, otrzymujemy wartość F(\hat{\rho}_1,\hat{\rho}_2) \approx 99.996 \%. Wierność zrekonstruowanego kwantowego tomogramu jest więc bardzo wysoka, co jest jednak zgodne z oczekiwaniami dla pojedynczego kubitu. W przypadku tomografii przeprowadzonej dla większej ilości kubitów, wierność odwzorowania będzie odpowiednio niższa. O ile niższa? To już zależy od konkretnego stanu kwantowego. Jeśli masz ochotę na dalsze ambitniejsze wyzwanie, zachęcam Cię do przeprowadzenia tomografii jednego ze splątanych stanów Bella. Stany te odgrywają dużą rolę zarówno w obliczeniach kwantowych jak i w teleportacji kwantowej oraz kwantowej kryptografii (np. protokół Ekerta). W zastosowaniach tych, przygotowanie stanu kwantowego o odpowiednio wysokiej wierności ma znaczenie praktyczne i uzależnione jest od tego na przykład bezpieczeństwo zaszyfrowanej kwantowo informacji. Przyglądając się uważnie “kwantowym cieniom” stanu Bella możemy zdiagnozować czy jest on wystarczajaco “zdrowy” do wykonania powierzonego mu zadania.

© Jakub Mielczarek