Wszystko wskazuje na to, że nie mieliśmy w historii świata sytuacji w której równie świadomie i szeroko ludzkość odczuła potęgę wzrostu wykładniczego, jak ma to miejsce obecnie. I chociaż śmiercionośne pandemie nawiedzały świat w przeszłości, to dopiero dzięki obecnemu stopniowi informatyzacji jesteśmy w stanie tak precyzyjnie, z dnia na dzień, śledzić ich globalny przebieg, niczym notowania na giełdzie.

Jednakże, pomimo powszechnego dostępu do wiedzy i informacji, wykładniczy charakter początkowej fazy rozwoju epidemii wywołanej zarażeniem wirusem SARS-CoV-2 spowodował duże zaskoczenie. Obserwowaliśmy i wciąż obserwujemy, jak w poszczególnych krajach ilość zidentyfikowanych przypadków zarażeń rośnie z tygodnia na tydzień, najpierw od kilku do kilkudziesięciu, następnie do kilkuset, w kolejnych tygodniach do kliku tysięcy, aż do dziesiątek i setek tysięcy. O ile więc, początkowe wzrosty mogą uśpić czujność, prowadząc nierzadko do nieadekwatnych reakcji, to po nietypowo krótkim czasie sytuacja rozwija się do poziomu trudnego do opanowania.

Zachowanie takie wymyka się intuicji naszych mózgów przyzwyczajonych do ekstrapolacji liniowych, co najwyżej parabolicznych, ale nie wykładniczych.     A systematyczne przyrosty o rząd wielkości, w stałym okresie czasu, są właśnie przykładem zależności wykładniczej. Zachowanie takie dotyczy nie tylko początkowej fazy rozwoju epidemii, ale przejawia się w niezliczonej ilości procesów, na przestrzeni skal od mikroświata aż po obserwowalny Wszechświat. Wykładniczość jest więc czymś  powszechnym i ważnym dla zrozumienia otaczającego nas świata. Stwierdzenie to odnosi się nie tylko do zjawisk naturalnych, ale również do opisu pewnych aspektów cywilizacji technologicznej, będącej wytworem aktywności ludzkiej.

W większości przypadków,  zależności wykładnicze umykają jednak naszej percepcji, co ma związek z charakteryzującymi je skalami czasowymi. Są one albo zbyt długie (lata) albo zbyt krótkie (ułamki sekund). Stąd też tak słabo jesteśmy z nimi oswojeni. Obecna epidemia, wywołana koronawirusem, jest na tym tle sytuacją dosyć wyjątkowa gdyż, zarówno charakteryzujące ją skale czasowe (czasy podwojenia) wynoszą typowo kilka-kilkanaście dni (umożliwiając „odczucie” dynamiki procesu),  jak i z uwagi na bezpośrednie tragiczne skutki jakie za sobą niesie, co zaś potęguje nasze zainteresowanie jej przebiegiem. A skoro już takie niesprzyjające okoliczności wystąpiły, postarajmy się je przynajmniej wykorzystać do lepszego zrozumienia zachowań wykładniczych.

Żeby wyjaśnić istotę procesu wykładniczego posłużę się przykładem  bakterii. Bakteria, w ustalonym środowisku, potrzebuje z grubsza stałego czasu, żeby dokonać podziału. W zależności od typu bakterii może on wynosić od kilkunastu minut do nawet doby. Nazwijmy ten czas . A więc, z wyjściowo jeden bakterii, po czasie , otrzymamy dwie bakterie. Każda z tych bakterii, po upływie kolejnego interwału , ulegnie podziałowi, dając łącznie cztery mikroorganizmy. Zatem, jeśli dla czasu mamy jedną bakterię, to dla czasu liczba bakterii wynosi 2, dla  liczba ta wynosi , dla otrzymamy , itd., co obrazuje rysunek poniżej:

Z matematycznego punktu widzenia, jest to przykład postępu geometrycznego z ilorazem ciągu równym 2. A więc, każdorazowo,  po upływie czasu , liczba bakterii podwaja się. Dlatego też, czas nazywamy czasem podwojenia.

Stąd już łatwo dojść do wniosku, że aby wyznaczyć ilość komórek po podziałach (dla czasu ), należy pomnożyć przez siebie -krotnie czynnik 2, czyli, innymi słowy, musimy wyliczyć . Wyrażając poprzez czas , dostajemy zaś . Traktując jako liczbę rzeczywistą, otrzymujemy przykład funkcji wykładniczej o podstawie 2.  W praktyce, jako podstawę funkcji wykładniczej często wykorzystuje się liczbę , co jest wygodne obliczeniowo. Otrzymaną w ten sposób funkcję wykładniczą nazywamy eksponentą.  Tutaj jednakże, dla uproszczenia, ograniczymy się do przypadku z dwójką.

Dopóki koncentracja bakterii jest niska i dostęp do zasobów nieograniczony, opisany powyżej wzrost wykładniczy dobrze opisuje wzrost populacji. Zależność ta jest  wykorzystywana chociażby w przypadku standardowych testów mikrobiologicznych na szalce Petriego, gdzie jedna bakteria potrzebuje odpowiedniej liczby podziałów, aby rozwinąć się do widocznej nawet gołym okiem kolonii. Opis wykładniczy  zaczyna się jednak załamywać, kiedy ilość namnożonych bakterii staje się odpowiednio duża a dostęp do składników budulcowych, potrzebnych do kolejnych podziałów, zaczyna być ograniczony.  Dobry opis matematyczny takiej sytuacji daje tak zwana krzywa logistyczna, która dla odpowiednio małych wartości czasu pokrywa się z trendem wykładniczym, lecz w pewnym momencie przegina się i następuje „saturacja” na ustalonej wartości.   

Wykresy funkcji wykładniczej (czerwony) oraz krzywej logistycznej (niebieski) przedstawiają rysunki poniżej:

Po lewej stronie znajdują się wykresy na skali liniowej. Po prawej stronie przedstawiono te same funkcje, lecz na skali logarytmicznej, na której funkcja wykładnicza staje się linią prostą.

Podstawowe modele epidemiologiczne, takie jak model SIS [1], z punktu widzenia matematycznego są równoważne powyższemu opisowi rozwoju populacji bakterii. W uproszczeniu, w przypadku takim, czas podwojenia odpowiada średniemu czasowi niezbędnemu do zarażenia przez osobę zakażoną kolejnej osoby. Ograniczając liczbę możliwych kontaktów, można ten czas wydłużyć, spowalniając tempo rozwoju epidemii. Zidentyfikowanie zaś zainfekowanych osób i uniemożliwienie im dalszego rozprzestrzeniania patogenu, może zaś cały proces wygasić. W uproszczeniu, proces taki można opisać właśnie krzywą logistyczną. Jeśli nie podjęto by żadnych środków zapobiegawczych, trend również uległ by wypłaszczeniu (jak dla krzywej logistycznej) z tą różnicą jednak, że nastąpiłoby to dla wartości porównywalnej z liczebnością całej populacji.     

Powyżej skupiliśmy naszą uwagę na wzroście wykładniczym. Równie dobrze możemy jednak mówić o wykładniczym spadku. Powszechnie znanym przykładem takiego zachowania jest rozpad promieniotwórczy.  Weźmy np. N atomów Polonu 210, dla którego czas połowicznego rozpadu wynosi około   dni. Oznacza to, że po czasie  , z początkowych N atomów pozostanie średnio N/2. Po upływie kolejnego , będziemy mieli już tylko N/4 atomów Polonu. Jak widać, to co właśnie robimy, to dzielenie wyjściowej liczby atomów przez kolejne potęgi dwójki. W ogólności, po upływie czasu ,  pozostanie więc atomów. Jest to przykład tak zwanego zaniku wykładniczego. Nawiasem mówiąc, to właśnie dosyć wyjątkowy (nie za krótki i nie za długi) czas połowicznego rozpadu Polonu 210 stoi za złą sławą tego izotopu, jako wyrafinowanego środka unicestwienia.  Przyjemniejsza strona wykładniczego zaniku przejawia się zaś w opadaniu piany w chłodnym, nasyconym dwutlenkiem węgla napoju dla osób pełnoletnich. Jak wskazują wyniki eksperymentów, czas połowicznego zaniku wynosi w tym przypadku około minuty [2]. Nie warto więc zbyt długo czekać z degustacją.   

Ale zachowania wykładnicze, to nie tylko sprawy przyziemne. Jak wskazują obserwacje astronomiczne, ewolucja objętości naszego Wszechświata przebiega w sposób bliski wykładniczemu, co jest związane z obecnością tak zwanej ciemnej energii, odkrycie której uhonorowano w 2011 roku Nagrodą Nobla w dziedzinie fizyki [3]. Aktualny czas podwojenia dla Wszechświata wynosi kilkanaście miliardów lat.  Ale to nie wszystko, obserwacje astronomiczne wspierają również tak zwany model inflacyjny, w którym młody wszechświat podlegał wykładniczemu “puchnięciu” z niewyobrażalnie małym czasem podwojenia rzędu  sekundy [4].

Około 13.8 miliardów lat później, w pewnym zakątku Wszechświata, rozwinęła się Cywilizacja, tworząca artefakty których poziom złożoności sam zaczął podążać w sposób wykładniczy. Sztandarowym przykładem jest tu prawo Moore’a, opisujące ilość tranzystorów w mikroprocesorze, dla którego podwojenia wynosi w przybliżeniu 2 lata [5]. Podobne prawo spełnia również moc obliczeniowa najszybszego dostępnego na świecie superkomputera, rosnąca z czasem podwojenia równym około 14 miesięcy [6]. Znanym badaczem tego typu zależności jest wynalazca i futurolog Ray Kurzweil. W jego książce The Singularity is Near  można znaleźć wiele przykładów trendów wykładniczych ze świata technologii [7]. Są one niezwykle przydatnym narzędziem futurologii analitycznej, pozwalającym przewidzieć szereg nowych możliwości jakie otworzą się przed nami w perspektywie 10-20 lat.

Na podstawie swoich analiz, Kurzweil doszedł do wniosku, że ilość wytwarzanej przez cywilizację techniczną wiedzy może rosnąć wykładniczo lub też szybciej niż wykładniczo, a kluczowym katalizatorem tego procesu stanie się sztuczna inteligencja. W tym drugim przypadku, model matematyczny przewiduje, że w skończonym czasie, ilość wiedzy będzie dążyć do nieskończoności. Obserwacja ta doprowadziła do sformułowania hipotezy tak zwanej osobliwości technologicznej [7]. To czy faktycznie zbliżamy się do takiego stanu jest kwestią dyskusyjną. Niewątpliwe jednak należy się takiej możliwości starannie przyglądać, gdyż procesy te mogą okazać się kluczowe jeszcze w obecnym stuleciu. Jak to już również podkreśliłem, w przypadku zależności wykładniczych, początki bywają bardzo niewinne. Jednakże, po przekroczeniu pewnego poziomu, wykładniczy charakter zaczyna ujawnia swoją moc. Warto więc zachować czujność.

Dużo, rzecz jasna, zależy również od tego jak nisko leży próg odczuwalności danego procesu. W większości przypadków, by go osiągnąć, wystarczy kilka wielokrotności czasu podwojenia. W przypadku epidemii, przy załóżmy 4-dniowym czasie podwojenia (co jest dobrym przybliżeniem dla wielu lokalnych faz epidemii COVID-19 [8]), zmiana ze 100 na 200 zakażonych w przeciągu 4 dni może nie być jeszcze tak przerażająca.  Natomiast, po kolejnych około 10 dniach spotkamy się z sytuacją kiedy liczba zidentyfikowanych zarażonych równa 1000, w przeciągu kolejnych 4 dni, wzrośnie do 2000. Takie wzrosty zaczynają odsłaniać siłę procesu wykładniczego. Później, niestety, jest już tylko gorzej.

Ważne jest więc, by nie bagatelizować zależności wykładniczych,   oczekując ich rychłego samoistnego „wypłaszczenia”. Jednym z najbardziej niepokojących współczesnych trendów wykładniczych jest skumulowana antropogeniczna emisja dwutlenku węgla do atmosfery [9]. Jak wiadomo, obecność dwutlenku węgla, poprzez absorpcję promieniowania termicznego z Ziemi, prowadzi do efektu cieplarnianego i w konsekwencji do zmian klimatycznych. Miejmy nadzieję, że trudne aktualne doświadczenia pozwolą nam Wszystkim lepiej uzmysłowić sobie znaczenie również tego zagrożenia.

Bibliografia

[1] R. V. Sole, Phase Transitions, Princeton University Press 2011.
[2] A. Leike, Demonstration of the exponential decay law using beer front.  European Journal of Physics, Vol. 23, No. 1, 21-26, 2001.
[3] The Accelerating Universe – Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2011: https://www.nobelprize.org/uploads/2018/06/advanced-physicsprize2011.pdf
[4] https://www.astro.caltech.edu/~ccs/Ay21/guth_inflation.pdf
[5] G. E. Moore, Cramming more components onto integrated circuits, Electronics, Vol. 38, No. 8, 1965.
[6] https://www.top500.org/
[7] R. Kurzweil, The Singularity is Near, Penguin Books 2006.
[8] https://ourworldindata.org/
[9] D. J. Hofmann, J. H. Butler, P. P. Tans, A new look at atmospheric carbon dioxide, Atmospheric Environment, Vol. 43, Issue 12, 2084-2086, 2009.

  © Jakub Mielczarek

Artykuł został opublikowany na portalu Polish Brief.