Zwarte przestrzenie fazowe

Jednym z zagadnień, nad którym obecnie pracuję, jest konstrukcja teorii pól z tak zwanymi zwartymi przestrzeniami fazowymi. Teorie takie są uogólnieniem powszechnie rozważanych w fizyce teoretycznej teorii z afinicznymi (płaskimi) przestrzeniami fazowymi. Kierunek badawczy związany z uzwarcaniem przestrzeni fazowych pól fizycznych zainicjowaliśmy, wspólnie z dr Tomaszem Trześniewskim, w 2016-tym roku w pracy “The Nonlinear Field Space Theory” Phys. Lett. B 759 (2016) 424 (open access). Badania te kontynuujemy obecnie w ramach grantu Sonata Bis 7 z NCN pt. “Teorie pola ze zwartymi przestrzeniami fazowymi − od grawitacji do układów złożonych”. Jednym z ambitnych celów tego projektu jest zbudowanie (kwantowej) teorii grawitacji, cechującej się zwartą przestrzenią fazową. O wynikach prowadzonych przez nas badań napiszę więcej w jednym z kolejnych wpisów. Tutaj zaś chciałbym przygotować niezbędną podbudowę teoretyczną do dyskusji naszych dotychczasowych rezultatów. Przedstawię mianowicie ideę zwartej przestrzeni fazowej na przykładzie układu fizycznego z jednym stopniem swobody, co można uważać za teorię pola skalarnego w punkcie (w przestrzeni zerowymiarowej).

Rozważmy więc pojedynczy stopień swobody, opisywany zmienną $q$ . Wartości $q$ należą do, tak zwanej, przestrzeni konfiguracyjnej $\mathcal{C}$ , którą wyjściowo przyjmijmy za zbiór liczb rzeczywistych, $\mathcal{C} = \mathbb{R}$ . Zmienna $q$ może więc przyjmować dowolną wartość z zakresu liczb rzeczywistych i opisywać stopień swobody wybranego układu fizycznego. Jeśli, na przykład, interpretujemy $q$ jako wartość pola skalarnego w punkcie, to wybór $\mathcal{C} = \mathbb{R}$ oznacza, że pole to może zmieniać swoją wartość w zakresie od $- \infty$ do $+\infty$ . Jeśli zaś $q$ opisuje położenie cząstki, to wybór $\mathcal{C} = \mathbb{R}$ mówi nam, że mamy do czynienia z ruchem w jednym wymiarze przestrzennym, po całej osi liczb rzeczywistych.

Do pełnego scharakteryzowani stanu cząstki nie wystarczy podanie jej położenia. Tak samo, do określenia stanu pola nie wystarczy znajomość jego wartości. W obydwu przypadkach, konieczne jest określenie również tego jak $q$ zmienia się w czasie. Informację tę zawiera, sprzężony z $q$ , pęd kanoniczny $p$ . Pary $(q,p)$ wyznaczają zaś punkty należące do, tak zwanej, przestrzeni fazowej $\Gamma$ . Z geometrycznego punktu widzenia, przestrzeń fazowa jest zazwyczaj tzw. wiązką kostyczną do przestrzeni konfiguracyjnej:

$\Gamma = T^*(\mathcal{C}) := \left\{ (q,p) : q \in \mathcal{C}, p \in T_q^*(\mathcal{C}) \right\}$ ,

gdzie $T_q^*(\mathcal{C})$ to przestrzeń kostyczna do przestrzeni $\mathcal{C}$ w punkcie $q$ . Dla rozważanego przypadku $\mathcal{C} = \mathbb{R}$ , otrzymujemy $\Gamma = T^*(\mathcal{C}) = \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$ , czyli płaszczyznę rzeczywistą. Dowolny punkt na tej płaszczyźnie reprezentuje stan układu klasycznego. Ewolucji układu w czasie odpowiadają zaś trajektorie (rysunek poniżej).

PhaseSpace — Przestrzeń fazowa $\Gamma = T^*(\mathcal{C}) = \mathbb{R}^2$ , gdzie $\mathcal{C}= \mathbb{R}$ . $T_{q_0}^*(\mathcal{C})$ to przestrzeń kostyczna do przestrzeni $\mathcal{C}$ w punkcie $q_0$ . Wiązka kostyczna jest sumą rozłączną przestrzeni kostycznych dla wszystkich $q_0 \in \mathcal{C}$ . Czarna trajektoria reprezentuje ewolucję układu w czasie. Niebieski punkt wskazuje na jednen ze stanów układu.

Przestrzeń fazowa $\Gamma = T^*(\mathcal{C}) = \mathbb{R}^2$ , gdzie $\mathcal{C}= \mathbb{R}$ . $T_{q_0}^*(\mathcal{C})$ to przestrzeń kostyczna do przestrzeni $\mathcal{C}$ w punkcie $q_0$ . Wiązka kostyczna jest sumą rozłączną przestrzeni kostycznych dla wszystkich $q_0 \in \mathcal{C}$ . Czarna trajektoria reprezentuje ewolucję układu w czasie. Niebieski punkt wskazuje na jednen ze stanów układu.

Istnieją jednak przypadki w których przestrzeni fazowej nie możemy wyrazić jako wiązki kostycznej $\Gamma = T^*(\mathcal{C})$ . Przykładem tego jest chociażby (zwarta) przestrzeń fazowa o geometrii sfery, którą przedyskutujemy dokładniej w dalszej części. Przypadek ten wpisuje się natomiast w ogólną definicję przestrzeni fazowych, jako tak zwanych rozmaitości symplektycznych, czyli rozmaitości różniczkowych posiadających zamknięte formy różniczkowe

$\omega = \frac{1}{2} \omega_{ij} dx^i \wedge dx^j$ ,

gdzie, dla rozważanej wcześniej przestrzeni fazowej $\Gamma = \mathbb{R}^2$ , $i =1,2$ oraz $x_1=q$ i $x_2=p$ a forma różniczkowa przyjmuje postać $\omega = dp \wedge dq$ . Symbol $\wedge$ oznacza tak zwany iloczyn zewnętrzny (ang. exterior product) form różniczkowych, w rozważanym przypadku 1-formy $dp$ oraz 1-formy $dq$ . Zamkniętość 2-formy $\omega$ oznacza zaś, że $d\omega = d(dp \wedge dq) = 0$ . Niniejsza własność gwarantuje spełnienie tzw. tożsamości Jacobiego, która zaś implikuje łączność algebry Poissona. Algebra ta konstruowana jest w oparciu o nawias Poissona $\{f,g\} :=\mathcal{P}^{ij}(\frac{\partial f}{\partial x^i})(\frac{\partial g}{\partial x^j})$ , gdzie $\mathcal{P}^{ij} :=(\omega^{-1})^{ij}$ to tak zwany tensor Poissona, otrzymywany przez odwrócenie formy symplektycznej $\omega$ (co nie zawsze jest możliwe). Dla rozważanego przypadku $\Gamma = \mathbb{R}^2$ , nawias ten wyraża się jako $\{f,g\} = \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}- \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}$ , tak że dla pary kanonicznie sprzężonych zmiennych $q$ i $p$ otrzymujemy $\{q, p\}=1$ . Wykorzystując nawias Poissona, możemy wprowadzić równanie Hamiltona $\frac{df}{dt} = \{f, H\}+\frac{\partial f}{\partial t}$ , gdzie $H$ jest tak zwaną funkcją Hamiltona (hamiltonianem), zaś $f$ jest dowolną funkcją na przestrzeni fazowej. Równanie to opisuje ewolucję w czasie $t$ układu fizycznego.

Płaskie (afiniczne) przestrzenie fazowe, tak jak rozważany tu przypadek $\Gamma = \mathbb{R}^2$ mają szerokie zastosowanie do opisu świata fizycznego. Jednakże, w wielu przypadkach, nieograniczoność tych przestrzeni prowadzi do trudności. Na przykład, w przypadku teorii pól, afiniczność przestrzeni fazowej przekłada się na nieograniczoność energii (hamiltonianu), będącej funkcją zmiennych fazowych. To zaś skutkuje możliwością pojawienia się niefizycznych nieskończoności. Lista potencjalnych problemów jest dłuższa. Możliwym sposobem na ich rozwiązanie jest uzwarcenie przestrzeni fazowej. Poniżej, przedstawię jak taka procedura wygląda w przypadku $\Gamma = \mathbb{R}^2$ (płaszczyzna) uzwarconej do $\Gamma = S^2$ (sfera).

Rozważmy zatem sferyczną przestrzeń fazową, tak by w granicy gdy jej promień dąży do nieskończoności, odzyskiwać przypadek przestrzeni fazowej $\Gamma = \mathbb{R}^2$ . Innymi słowy, płaska przestrzeń fazowa będzie lokalnym przybliżeniem dla przestrzeni sferycznej, w podobny sposób jak geometria euklidesowa jest lokalnym przybliżeniem dla (nieeuklidesowej) geometrii sferycznej. Zamiast jednak rozważać kąty i długości, w przypadku przestrzeni fazowej obiektem naszego zainteresowania będzie forma symplektyczna $\omega$ .

Naturalnym wyborem formy symplektycznej dla sfery jest 2-forma powierzchni $\omega = S \sin \theta d \phi \wedge d \theta$ . Kąty $\phi \in (-\pi, \pi]$ oraz $\theta \in [0,\pi]$ to standardowe kąty w sferycznym układzie współrzędnych. Stała $S$ została zaś wprowadzona ze względów wymiarowych, tak by forma symplektyczna $\omega$ miała wymiar powierzchni na płaszczyźnie fazowej 2D, czyli położenie razy pęd (= moment pędu). W celu wyrażenia tej formy poprzez zmienne $q$ oraz $p$ , wykorzystywane w przypadku $\Gamma = \mathbb{R}^2$ , wykonajmy następującą zmianę zmiennych:

$\phi = \frac{q}{R_1}$ oraz $\theta = \frac{\pi}{2}-\frac{p}{R_2}$ ,

gdzie $R_1$ i $R_2$ to parametry wprowadzone ze względów wymiarowych. Stosując to do formy $\omega = S \sin \theta d \phi \wedge d \theta$ , otrzymujemy:

$\omega= \frac{S}{R_1R_2} \cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)dp\wedge dq$ .

Chcąc by w granicy $R_1\rightarrow \infty$ oraz $R_2 \rightarrow \infty$ , powyższa forma redukowała się do przypadku płaskiego, czyli $\omega=dp\wedge dq$ , musimy przyjąć by $S = R_1 R_2$ .

Sphere — Afiniczna (płaska) przestrzeń fazowa $\Gamma = \mathbb{R}^2$ może być rozpatrywana jako lokalne przybliżenie zwartej przestrzeni fazowej, na przykład o geometrii sfery $\Gamma = S^2$ .

Afiniczna (płaska) przestrzeń fazowa $\Gamma = \mathbb{R}^2$ może być rozpatrywana jako lokalne przybliżenie zwartej przestrzeni fazowej, na przykład o geometrii sfery $\Gamma = S^2$ .

Spełnienie warunku poprawnej granicy afinicznej implikuje więc, że 2-forma $\omega$ dla (zwartej) sferycznej przestrzeni fazowej ma postać:

$\omega=\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)dp\wedge dq$ .

Podobnie, jak w rozważanym wcześniej przypadku $\Gamma = \mathbb{R}^2$ , w oparciu o formę symplektyczną możemy wyznaczyć postać nawiasu Poissona dla sferycznej przestrzeni fazowej:

$\{f,g\} = \frac{1}{\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)}\left( \frac{\partial f}{\partial q} \frac{\partial g}{\partial p}- \frac{\partial f}{\partial p} \frac{\partial g}{\partial q}\right)$ .

Różnica z przypadkiem $\Gamma = \mathbb{R}^2$ polega na obecności czynnika $1/\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)$ . W konsekwencji, nawias Poissona pomiędzy zmiennymi kanonicznymi przyjmuje postać $\{q,p\} = 1/\cos\Big(\frac{p}{R_2}\Big)$ . Warto tu podkreślić, że zmienne $q$ oraz $p$ są dobrze zdefiniowane na sferze jedynie lokalnie. Ich wartości nie zmieniają się na sferze w sposób ciągły. W szczególności, $q \in (-\pi R_1, \pi R_1]$ , tak że w puncie $q= \pi R_1$ następuje nieciągłość. O ile, nie ma to znaczenia w przypadku kiedy rozważamy małe wartości $q$ (w otoczeniu granicy afinicznej), tak w przypadku analizy globalnych własności sferycznej przestrzeni fazowej zasadne jest wprowadzenie zmiennych które zdefiniowane są w sposób globalny. Naturalnym wyborem takich zmiennych jest parametryzacja sfery w kartezjańskim układzie współrzędnych. Dowolny punkt na sferze może być więc wskazywany przez wektor $\vec{S}=(S_x,S_y,S_z)$ o składowych:

$S_x:= S \sin\theta \cos\phi = S \cos \left( \frac{p}{R_2} \right) \cos \left( \frac{q}{R_1} \right),$

$S_y:= S \sin\theta \sin\phi = S \cos \left( \frac{p}{R_2} \right) \sin \left( \frac{q}{R_1} \right),$

$S_z:= S \cos\theta = S \sin \left( \frac{p}{R_2} \right).$

Przy czym, spełnione jest równanie sfery $\vec{S}\cdot\vec{S}= S_x^2+S_y^2+S_x^2=S^2$ . Wykorzystując nawias Poissona dla sferycznej przestrzeni fazowej, możemy teraz pokazać że składowe wektora $\vec{S}$ spełniają następującą relacje:

$\{S_x,S_y\} = S_z, \ \ \ \{S_z,S_x\} = S_y, \ \ \ \{S_y,S_z\} = S_x.$

Jest to tak zwana algebra $su(2)$ . Oznacza to, że składowe wektora $\vec{S}$ są generatorami obrotów, co jest konsekwencją symetrii sferycznej przestrzeni fazowej. Zgodnie więc z definicją, wektor $\vec{S}$ , którego składowe spełniają powyższą algebrę, nazywamy momentem pędu (lub spinem). Fakt, iż sferyczna przestrzeń fazowa jest przestrzenią fazową momentu pędu ma daleko idące konsekwencje. W szczególności, obserwacja, że sferyczna przestrzeń fazowa (momentu pędu lub spinu) może być lokalnie opisywana przez płaską przestrzeń fazową z jednym stopniem swobody stała się podstawą do wprowadzenia, przeze mnie w 2017-tym roku, tak zwanej Korespondencji Spin-Pole (Spin-Field Correspondence). Korespondencja ta wiąże, w granicy dużego spinu ( $S\rightarrow \infty$ ), znane afiniczne teorie pola z układami spinowymi. W szczególności, jak pokazaliśmy z moimi współpracownikami z Uniwersytetu Fudan w Szanghaju w pracy “Klein-Gordon field from the XXZ Heisenberg model” (przyjęte do druku w International Journal of Modern Physics D), pole skalarne Kleina-Gordona można otrzymać z łańcucha spinowego XX Heisenberga (model XXZ Heisenberga w granicy $\Delta \rightarrow 0$ parametru anizotropii).

Posłużyłem się powyżej określeniem spin, które zarezerwowane jest do określenia wewnętrznego momentu pędu cząstek, bezpośrednio związanego z jej kwantową naturą i wyrażającego się w ułamkach ( $n/2$ , gdzie $n = 0,1,2,3,\dots$ ) zredukowanej stałej Plancka $\hslash$ . Jednakże, jak dotąd, nasze rozważania były skupione na analizie klasycznych przestrzeni fazowych, dla których wartość momentu pędu $S$ pozostawała nieokreślona. Dla kompletności naszych rozważań, zakończymy więc naszą dyskusję zarysem analizy przypadku kwantowego. Mianowicie, w ujęciu kwantowym, stan układu nie jest opisywany przez punkt w przestrzeni fazowej lecz przez wektor w przestrzeni Hilberta (warto tu zaznaczyć, że w podejściu zwanym mechaniką kwantową na płaszczyźnie fazowej, stan kwantowy układu można związać z tak zwaną funkcją gęstości kwaziprawdopodbieństwa (funkcja Wignera) określoną na przestrzeni fazowej). Wymiar przestrzeni Hilberta, czyli ilość liniowo niezależnych wektorów bazowych, wiąże się natomiast z powierzchnią przestrzeni fazowej. Mianowicie, zasada nieoznaczoności Heisenberga mówi nam, że iloczyn nieoznaczoności pomiarów $q$ i $p$ ograniczony jest od dołu w następujący sposób (dla przypadku płaskiej przestrzeni fazowej):

$\Delta q \Delta p \geq \frac{\hslash}{2}$ .

Nie możemy dokładniej wyznaczyć więc klasycznego stanu stopnia swobody na płaszczyźnie fazowej niż jako powierzchni $\sim \hslash$ . Do opisu układu, którego przestrzeń fazowa ma powierzchnię $A$ potrzebujemy więc około $A/\hslash$ niezależnych wektorów w przestrzeni Hilberta. W przypadku płaskiej przestrzeni fazowej, z uwagi na nieskończoność powierzchni, przestrzeń Hilberta musi więc posiadać nieskończony wymiar. Jednakże, dla przypadku sfery $\Gamma=S^2$ , powierzchnia przestrzeni fazowej jest równa:

$A = \int_{\Omega} \omega = 4 \pi S < \infty$ ,

gdzie wykonano całkowani po pełnym kącie bryłowym $\Omega$ . Wymiar przestrzeni Hilberta jest więc skończony i proporcjonalny do $\sim S/\hslash$ . Ponieważ wymiar przestrzeni Hilberta jest liczbą naturalną, dozwolone są jedynie pewne wartości $S$ , będące wielokrotnością stałej Plancka $\hslash$ . Sama zwartość przestrzeni fazowej implikuje więc kwantowanie momentu pędu (spinu). Dokładny rachunek, wykorzystujący kwantowanie algebry $su(2)$ lub też stosując tak zwane kwantowanie geometryczne sfery, mówi nam, że wymiar przestrzeni Hilberta dla spinu wyraża się jako $\text{dim} H_s = 2s+1$ , gdzie $s=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, \dots$ . Natomiast, powierzchnia przestrzeni fazowej wyraża się jako $4 \pi S =4 \pi \hslash s$ . Jeśli, na przykład, rozważymy spin elektronu, dla którego $s=1/2$ , odpowiadająca mu powierzchnia przestrzeni fazowej będzie równa $2\pi \hslash$ .