Splątanie kwantowe w nanosatelicie

Udało się zrealizować kolejny ważny krok w kierunku wykorzystania przestrzeni kosmicznej do prowadzenia komunikacji kwantowej oraz do badań nad zjawiskami kwantowymi w warunkach mikrograwitacji. Stało się to za sprawą nanaosatelity SpooQy-1, który zrealizował eksperyment demonstrujący splątanie kwantowe fotonów w warunkach kosmicznych [1]. Misja została przeprowadzona przez Centrum Technologii Kwantowych w Singapurze, we współpracy z partnerami ze Szwajcarii, Australii i Wielkiej Brytanii.

Pierwsze eksperymenty satelitarne z wykorzystaniem splątanych stanów fotonów zostały zrealizowane w ostatnich latach przez chińskiego satelitę średniego typu o nazwie Micius [2]. Jednakże, dopiero teraz udało się przeprowadzić eksperyment ze splątanymi stanami kwantowymi fotonów z wykorzystaniem miniaturowego nanosatelity typu CubeSat. W standardzie tym, nanosatelity budowane są z jednostek (unitów) w postaci sześcianów o długości krawędzi równej 10 cm. Pojedynczą kostkę określamy jako 1U – jedna jednostka. Nanosatelita SpooQy-1 zbudowany został z trzech jednostek (3U), przy czym, systemy sterowania, łączności i zasilania zamknięto w jednym z nich (1U), eksperyment kwantowy zajmował zaś pozostałe dwa bloki (2U).

Misja SpooQy-1 powstała na bazie wcześniejszego projektu nanosatelitarnego Galassia (2U), który w 2016 roku wykonał orbitalne testy układu do generowania splątanych stanów kwantowych kwantowych [3]. W ramach tej misji nie udało się jednak dokonać pomiarów samego splątania kwantowego. Z uwagi na stosunkowo niskie koszty zarówno budowy jak i umieszczania na niskiej orbicie okołoziemskiej CubseSatów, przeprowadzone misje torują drogę do realizacji kolejnych nanosatelitarnych projektów kwantowych przez mniejsze grupy naukowców i inżynierów.

SpooQy-deployment
Wypuszczenie nanosatelity SpooQy-1 z Międzynarodowej Stacji Kosmicznej. Źródło

Żeby zrozumieć znaczenie przeprowadzonego na pokładzie nanosatelity SpooQy-1 eksperymentu, warto przybliżyć (lub jedynie odświeżyć) to co rozumiemy przez splątanie kwantowe.   W tym celu, rozważmy foton, czyli podstawową porcję (kwant) pola elektromagnetycznego. Fotony, oprócz odpowiadającej im długości fali, czy też zbioru długości fali składających się na tak zwaną paczkę falową, posiadają również dwa wewnętrzne stopnie swobody związane z ich polaryzacją.  Wypadkowa polaryzacja fotonu ma postać kwantowej superpozycji dwóch stanów bazowych polaryzacji. Jako stany bazowe możemy wybrać przykładowo dwie prostopadłe względem siebie polaryzacje – poziomą (H – horizontal) oraz pionową (V – vertical). Kierunki polaryzacji są ustalone względem referencyjnego układu odniesienia, takiego jaki wyznacza chociażby płaszczyzna stołu optycznego.

Fotony możemy przygotować w stanach o pożądanej polaryzacji liniowej przepuszczając je przez polaryzator.  Jeśli będzie on ustawiony np. w pozycji H, to foton o początkowej dowolnej polaryzacji, po przejściu przez taki polaryzator znajdzie się stanie H. Ciekawą sytuacją jest, kiedy pozycja polaryzatora nie będzie pokrywała się z jedną z pozycji bazowych H i V, leczy np. będzie względem każdej z nich obrócona o 45 stopni. Odpowiada to polaryzacjom diagonalnej (D – diagonal) oraz antydiagonalnej (A – anti-diagonal). Wtedy to, analizując np. fotonu w stanie o polaryzacji D za pomocą analizatora złożonego z polaryzatorów ustawionych w pozycjach H i V, zaobserwujemy tak zwaną redukcji stanu kwantowego. Statystycznie, przepuszczając przez analizator pewną liczną fotonów przygotowanych w stanie D, połowę z nich zarejestrujemy jako będące w stanie H, a połowę w stanie V. Stan o polaryzacji D możemy więc uznać za superpozycję kwantową stanów bazowych H i V, z jednakowym rozkładem prawdopodobieństw równym 1/2. W trakcie aktu pomiaru, jakim jest analiza polaryzacji, stan ten redukuje się do jednego ze stanów bazowych (H,V) i pozostaje w nim.

Przejście od koncepcji superpozycji kwantowej do splątania kwantowego wymaga rozszerzenia powyższej dyskusji do przypadku stanu kwantowego dwóch lub więcej fotonów.  Do wyjaśnienia eksperymentu przeprowadzonego w misji SpooQy-1, wystarczy nam rozważanie splątania kwantowego dwóch fotonów. Tym bardziej, że jest to sytuacja najpowszechniejsza, a wytwarzanie stanów splątanych trzech i większej liczby fotonów jest wciąż raczkującym obszarem doświadczalnej optyki kwantowej.

Splątanie kwantowe jest szczególnym typem superpozycji kwantowej w układzie cząstek, takich jak fotony, prowadzące do występowania nielokalnych korelacji pomiędzy nimi.  Stanami dwufotonowymi, w których możemy zaobserwować splątanie kwantowe są w szczególności stany Bella: Φ+, Φ-, Ψ+ i Ψ-.  Stany te są szczególnie interesujące z tego powodu, że należą do przypadku w którym splątanie kwantowe jest najsilniejsze (mówimy, że są to stany maksymalnie splątane).

Przyjrzyjmy się teraz bliższej przypadkowi fotonów przygotowanych w stanie Φ+, co przedstawia rysunek poniżej. Fotony takie, wyemitowane ze źródła stanu splątanego, propagują się następnie do odległych punktów A i B, w których następuje pomiar. Podobnie jak w omawianym powyżej przypadku pojedynczego fotonu, a priori możemy z równym prawdopodobieństwem oczekiwać zarejestrowania każdego z fotonów w stanie o jednej z dwóch polaryzacji: H lub V. W tym momencie dochodzimy jednak do jednej z  najbardziej enigmatycznych własności mechaniki kwantowej. Mianowicie, jeśli dokonamy analizy polaryzacji jednego z fotonów, to będzie to miało natychmiastowy wpływ na wynik pomiaru przeprowadzonego na tym drugim. Jeśli np. w wyniku pomiaru okaże się, że foton w punkcie A jest stanie o polaryzacji H, to ze stuprocentową pewnością, analizując drugi foton w punkcie B, zaobserwujemy, że znajduje się on również w stanie H. Natomiast, jeśli nie dokonalibyśmy pomiaru w punkcie A, to wynik pomiaru w punkcie B wynosiłby w 50% przypadków H i w 50% przypadków V. Ta natychmiastowa redukcja stanu kwantowego,  odbiegająca od tak zwanego lokalnego realizmu, okazała się trudna do zaakceptowania przez wielu fizyków, co znalazło ucieleśnienie między innymi w paradoksie EPR (Einsteina-Podolskiego-Rosena). Przypuszczano, że mogą istnieć pewne dodatkowe (nieobserwowane) stopnie swobody, tak zwane zmienne ukryte,  znajomość których pozwoliłaby przewidzieć wyniki pomiarów i uniknąć konieczności natychmiastowej redukcji stanu kwantowego pomiędzy odległymi punktami.  Możliwość występowania zmiennych ukrytych, przynajmniej tych lokalnego typu, wyeliminował ostatecznie w latach sześćdziesiątych ubiegłego wieku północnoirlandzki fizyk John Bell, ten sam od którego nazwiska pochodzi wprowadzona powyżej rodzina stanów kwantowych.

Bell
Schemat eksperymentu Bella ze splątaniem kwantowym. Źródło

Rozważając korelacje pomiędzy wynikami pomiarów w punktach A, B wykazał on, że hipoteza zmiennych ukrytych wymaga spełnienia określonej nierówności pomiędzy wynikami pomiarów w różnych bazach. W celu wprowadzenia tej nierówności, oznaczmy wyniki pomiarów w bazie (H,V) w punktach A i B odpowiednio a i b. Natomiast, dla alternatywnego wyboru bazy, np. (D,A), niech wyniki pomiarów  w punktach A i B wynoszą a’ i b’. Korzystając z tych oznaczeń, możemy rozważań cztery różne konfiguracje dla funkcji korelacji, E(a,b), E(a’,b), E(a,b’) i E(a’,b’),  które pozwalają nam zdefiniować wielkość:

S =  E(a,b) – E(a,b’) + E(a’,b) + E(a’,b’),

zwaną parametrem CHSH (Clauser-Horne-Shimony-Holt).  Jak wykazał Bell, teoria lokalnych zmiennych ukrytych wymaga, żeby parametr ten spełnia następującą nierówność (zwana nierównością Bella, lub też nierównością Bella-CHSH):

|S|≤ 2.

Okazuje się jednak, że stany splątane takie jak rozważane tu stany Bella, jawnie łamią tę nierówność, przecząc lokalnemu realizmowi.

Wynik ten wspiera postrzeganie mechanik kwantowej jako teorii w pewnym stopniu nielokalnej. Mianowicie, stan splątany dwóch cząstek kwantowych traktujemy jako jeden obiekt kwantowy i niezależnie od tego czy jedna jego część znajduje się w dużej odległości od drugiej, ingerencja w tą pierwszą poniesie za sobą natychmiastowy skutek dla tej drugiej i vice versa. Jednakże, wbrew pierwotnym obawom, wyrażonym w paradoksie EPR, nie jest w ten sposób możliwa nadświetlna wymiana informacji. Pomimo, że splątanie kwantowe nie pozwala urzeczywistnić wizji znanych chociażby z serialu Star Trek, znajduje ono zastosowanie w komunikacji. Ma to miejsce za sprawą zarówno możliwości przeprowadzania za jej pośrednictwem tak zwanej teleportacji stanów kwantowych jak i kwantowej dystrybucji klucza. Oba te procesy zachodzą z prędkością światła w danym ośrodku, która jest mniejsza lub równa prędkości światła w próżni.

To drugie zastosowanie, czyli kwantowa dystrybucja, stanowiąca jeden z głównych filarów kryptografii kwantowej,  przyciąga szczególnie duże zainteresowanie i stanowiła jedną z głównych motywacji do przeprowadzenia misji SpooQy-1. Wytworzone stany Bella pozwalają m.in. na realizację protokołu Ekerta (E91) kwantowej dystrybucji klucza [4]. W podejściu tym, zaufana jednostka (na przykład nanosatelita) wytwarza pary splątanych fotonów, wysyłając jeden z nich do punku A a drugi do punktu B. Analizując otrzymane fotony, można otrzymać ciągi wyników pomiaru polaryzacji, np. HVHHVHVHV…. Przypisując zaś stanom polaryzacji wartości binarne np. H->0 i V->1, otrzymujemy ciąg bitów 010010101…, który może stanowić sekretny klucz, stosowany w protokołach klasycznej kryptografii symetrycznej. Przygotowując fotony np. w stanie Φ+, mamy pewność, że jeśli odbiorca A zarejestrował ciąg  010010101…, to taki sam ciąg zaobserwuje również odbiorca klucza w punkcie B.  Dodatkowym elementem takiego protokołu jest sprawdzenie na części bitów tego czy nie nastąpił podsłuch transmisji. Po pomyślnej weryfikacji, uzyskujemy wynikającą z praw mechaniki kwantowej gwarancję poufności wymienionego klucza.

Za pomocą satelity SpooQy-1, przeprowadzono testy zarówno wytwarzania jaki i analizy stanów splątanych. Splątane fotony nie były jednak emitowane poza nanosatelitę,  do odbiorców w przestrzeni kosmicznej lub na powierzchni Ziemi.  To już będzie stanowiło przedmiot kolejnych misji. W ramach tego projektu, cały eksperyment został przeprowadzony w obrębie zamkniętego modułu doświadczalnego, zawierającego źródło splatanych fotonów oraz ich analizator.

Do wytworzenia par splątanych kwantowo fotonów wykorzystano, powszechnie stosowany w warunkach laboratoryjnych, proces zwany spontanicznym parametrycznym obniżaniem częstości (SPDC – Spontaneous Parametric Down-Conversion). W zjawisku tym, wysokoenergetyczny (np. ultrafioletowy) foton ulega w optycznie nieliniowym ośrodku konwersji na dwa niżej-energetyczne fotony, występujące już w stanie splątanym. Wyniki przeprowadzonego eksperymentu raportują o wytworzeniu w ten sposób, w warunkach kosmicznych, stanu Bella Φ- (jest to stan bardzo podoby do stanu Φ+, różniący się od niego jedynie względną fazą pomiędzy stanami bazowymi).

BBO
Wytwarzanie splątanych kwantowo par fotonów w procesie spontanicznego parametrycznego obniżania częstości (SPDC – Spontaneous Parametric Down-Conversion). Źródło

W układzie eksperymentalnym, jako źródło fotonów zastosowano diodę laserową (LD) , generującą wiązkę fotonów o długości fali 405 nm (granica światła widzialnego, w stronę bliskiego ultrafioletu) i szerokości spektralnej równej 160 MHz. Do wytworzenia stanów splątanych wykorzystano dwie płytki wykonane z boranu baru (BBO), pomiędzy którymi ustawiono płytkę półfalową (HWP), dokonującą obrotu polaryzacji o 90 stopni. W celu usunięcia z wiązki wejściowego (pompującego) światła laserowego, które nie uległo konwersji w procesie SPDC, zastosowano lustro dichroiczne (DM1), pełniące funkcję filtru.  Natomiast, aby skompensować dyspersję otrzymanych fotonów na drodze optycznej zastosowano kryształ wanadanu (V) itru – YVO4. Tak otrzymany sygnał został rozdzielony do dwóch analizatorów za pomocą kolejnego lustra dichroicznego (DM2). Każdy z nich składał się z ciekłokrystalicznego rotatora polaryzacji (LCPR), polaryzatora (P) oraz fotodiody lawinowej (GM-APD) i analizował jeden z fotonów należący do kwantowo splątanej pary. Zarejestrowane fotony uznawano za pochodzące z jednej splątanej kwantowo pary jeśli zaobserwowano je w oknie czasowym o szerokości ~ 5 ns.

Spooqy_setup
Uproszczony schemat układu doświadczalnego w nanaosatelicie SpooQy-1. Źródło

Za pomocą takiego układu doświadczalnego, przeprowadzono eksperyment w którym wykazano, że wartość parametru S, dla wytworzonych w procesie SPDC stanów Bella przyjmuje wartości większe od klasycznej granicy S=2, a mniejsze od teoretycznie przewidzianej wartości równej S=2√2≈2.83. Uśredniona, otrzymana w ramach eksperymentu wartość to S=2.60±0.07 > 2. Potwierdzono tym samym łamanie nierówności Bella w warunkach orbitalnych. Otrzymany w eksperymencie poziom błędów, odpowiadający parametrowi QBER (Quantum Bit Error Rate) równemu ~ 4 % (około cztery na 100 transmitowanych bitów są błędne), jest wystarczający do tego żeby pomyślnie przeprowadzać kwantową dystrybucję klucza. To wymagać będzie jednak dostosowania układu doświadczalnego do pracy z laserem o większej mocy i układem optycznym umożliwiającym dalekodystansową komunikację optyczną.

MzY1Mzk5OQ
Fizyczna realizacja układu doświadczalnego w nanaosatelicie SpooQy-1. Źródło

Przybliżone tu wyniki grupy z Centrum Technologii Kwantowych w Singapurze, którego dyrektorem do niedawna pozostawał Polak prof. Artur Ekert, to z jednej strony zwieńczenie wielu lat intensywnej pracy a z drugiej preludium do kolejnych, jeszcze szerzej zakrojonych, kwantowych projektów kosmicznych.  Do następnych milowych kroków należą niewątpliwie przeprowadzanie kwantowej dystrybucji klucza pomiędzy dwiema nanosatelitami [5] oraz pomiędzy nanosatelitą a stacją naziemną [6].  Prace w tym kierunku, w szczególności w kontekście wykorzystania łatwiejszej wersji kwantowej dystrybucji klucza nie opartej na splątaniu kwantowym, już trwają. Ponadto, nanosatelitarne eksperymenty ze splątaniem kwantowym w warunkach orbitalnych otwierają możliwość do badań podstawowych, szczególnie w kontekście związku pomiędzy teorią grawitacji w fizyką kwantową.  Warte podkreślenia jest to, że dzięki wykorzystaniu platform typu CubeSat, projekty tego typu stają się możliwie do realizacji również w warunkach polskich.  W kierunku tym zwracamy się ramach działającego na Uniwersytecie Jagielloński w Krakowie zespołu naukowego Quantum Cosmos Lab.

Biblografia

[1] Aitor Villar, et al., Entanglement demonstration on board a nano-satellite, Optica 7, 734-737 (2020).
[2] J-G Ren et al.Ground-to-satellite quantum teleportation, Nature 549, 70–73 (2017).
[3] Zhongkan Tang, et al., Generation and Analysis of Correlated Pairs of Photons aboard a Nanosatellite, Phys. Rev. Applied 5, 054022  (2016).
[4] Artur K. Ekert, Quantum cryptography based on Bell’s theorem, Phys. Rev. Lett. 67, 661 (1991).
[5] Denis Naughton, et al., Design considerations for an optical link supporting intersatellite quantum key distribution, Optical Engineering 58(1), 016106 (2019).
[6] R. Bedington, et al.Nanosatellite experiments to enable future space-based QKD missionsEPJ Quantum Technology 2016 3:12 (2016).

         © Jakub Mielczarek

Artykuł został opublikowany na portalu Space24.

Co już potrafią komputery kwantowe?

Internet stwarza szerokie pole do deformacji rzeczywistości. Sposobność ta nie oszczędziła komputerów kwantowych, które w ciągu ostatnich lat wyszły z laboratoriów badawczych do wielkiego świata, również tego wirtualnego.  Niestety, zderzenie praw fizyki kwantowej z prawami internetu (lub też ich brakiem), nie mogło obejść się bez szwanku dla samego przedmiotu naszego zainteresowania – komputerów kwantowych.  Kogo wszak interesują zawiłości techniczne, prawa natury, wyniki badań i analiz, czy też opinie specjalistów? Ważniejsze są przecież emocje bo to one podsycają zainteresowanie.  Te zaś przyczyniły się do wykreowanie obrazu komputerów kwantowych jako cudownych, ale i stanowiących zagrożenie, wszechmogących maszyn dostępnych już jakoby na wyciągnięcie ręki.

Co prawda, to przejaskrawienie pociągnęło za sobą większe inwestycje w technologie kwantowe. Nie oznacza to jednak czegoś jednoznacznie pozytywnego, ponieważ o ile wzmożone zainteresowanie przełożyło się na przyśpieszenie rozwoju technologii to wiotkie podstawy tego zauroczenia stworzyły zagrożenie wystąpienia patologii. W tym przypadku, istnieje chociażby ryzyko tego, że inwestorzy, nie koniecznie dysponujący specjalistyczną wiedzą z zakresu technologii kwantowych, podejmą decyzje inwestycyjne, w uproszczeniu, zwiedzeni tym, że pomysł zawiera słowo klucz – „kwantowy”. Wynikające stąd, rosnące i niespełniane oczekiwania pokładane w technologii mogą zaś wymuszać manipulacje w przekazach marketingowych, mające na celu wygenerowanie sprzedaży czegoś co nie dostarcza jeszcze bezpośrednich korzyści nad dostępnymi rozwiązaniami alternatywnymi. To zaś tylko wzmaga zafałszowanie przekazu, w szczególności tego wyłaniającego się w świecie wirtualnym.

Niestety, zjawisko takie dotknęło rodzącego się rynku komputerów kwantowych, który za wszelką cenę chciałby zacząć odrabiać poczynione niebotyczne inwestycje. Jest to koszt wyjścia technologii kwantowych poza sferę finansowania jedynie z grantów badawczych, nie narzucających wymogu bezpośredniego zwrotu z inwestycji. Oczywiście, nie dotyczy to jedynie technologii kwantowych, ale również innych nowych technologii wymagających ogromnych nakładów na badania i rozwój, takach jak chociażby technologie oparte na grafenie.

Z całego tego zgiełku, wyniknęło jednak ostatecznie coś dobrego. Mianowicie, pierwsze komputery kwantowe stały się dostępne niemal dla każdego.  Nie są one jednak tymi maszynami przed którymi ostrzegają nas doniesienia medialne o wykorzystaniu komputerów kwantowych do łamania szyfrów stosowanych w elektronicznych transakcjach bankowych. Na te będziemy musieli poczekać jeszcze kolejnych kilka dekad [1]. Dostępne już komputery kwantowe oferują bardzo ograniczone możliwości, nie wykraczające ponad to co dają nam te do korzystania z których przywykliśmy. Ponadto, borykają się one z trudnym do przezwyciężenia problemem dekoherencji kwantowej, znacznie ograniczającym ich obecną funkcjonalność, jak i możliwość dalszego skalowania. Pomimo tych przeszkód, możemy już dzisiaj zacząć naszą przygodę z obliczeniami kwantowymi, chociażby po to aby samemu przekonać się o możliwościach kwantowych maszyn. To co już da się z ich pomocą zdziałać postaram się zarysować poniżej.

Chciałbym jednak wcześniej podkreślić, że droga do miejsca w którym się obecnie znajdujemy nie była krótka. Komputery kwantowe nie wyskoczyły jak królik z kapelusza.   Może to zabrzmieć zaskakująco, ale już przed II wojną światową dysponowaliśmy aparatem teoretycznym niezbędnym do zaprojektowania komputera kwantowego. Tak już jest, że fizyka teoretyczna potrafi wyprzedzić inżynierię o dziesiątki, setki, czy nawet o tysiące lat.

Prawie już sto lat temu, w połowie lat dwudziestych ubiegłego wieku, stara teoria kwantów, do której zalicza się orbitalny model atomu Bohra, przekształciła się w mechanikę kwantową, taką jaką znamy ją dzisiaj. Ważnym krokiem w tym procesie było wprowadzenie przez de Broglie’a (1924) nowatorskiej koncepcji fal materii. Następnie, w 1926 roku, Erwin Schrödinger, zabrawszy pracę de Broglie’a oraz jedną ze swoich muz (nie kota), zaszył się na dwa i pół tygodnia w alpejskiej will, po czym pokazał światu, że rozchodzenie się fal materii można opisać równaniem matematycznym – znanym dzisiaj jako równanie Schrödingera.  Tego samego roku, urodzony w ówczesnym Breslau, Max Born zaproponował, że to co opisuje funkcja falowa to w istocie rozkład prawdopodobieństwa. Odsłoniło to probabilistyczną naturę mikroświata, która odgrywa ogromną rolę w technologiach kwantowych. Rok wcześniej, Born razem z Werner’em Heisenberg’iem wprowadzili równoważne sformułowanie macierzowe (operatorowe) mechaniki kwantowej, z którego na codzień korzystają obecnie programiści komputerów kwantowych. Związek mechaniki kwantowej z teorią informacji zaczął się zaś rysować dzięki pracom pioniera informatyki i fizyka matematycznego węgierskiego pochodzenia Johna Von Neumanna (rok 1932). Na odważny krok zaproponowania komputerów opierających swoje działanie na mechanice kwantowej musieliśmy jednak czekać do połowy lat osiemdziesiątych ubiegłego stulecia. Wtedy to, koncepcje taką zaczął poważnie rozważać, zafascynowany pierwszymi komputerami osobistym, znany wszystkim dobrze Richard Feynman [2]. Od tego czasu zaczął się wyścig w stronę zbudowania komputera kwantowego.

Na pierwsze prototypy musieliśmy poczekać kolejną dekadę. W konstrukcjach tych wykorzystano zjawisko jądrowego rezonansu magnetycznego (NMR), stosowane powszechnie w diagnostyce medycznej. Kierunek ten nie pozwolił jednak na stworzenie komputerów przetwarzających więcej niż kilka jednostek informacji kwantowej – tak zwanych kubitów [3].  Przełomowe okazało się wykorzystanie zjawiska fizycznego zwanego nadprzewodnictwem. Jest to zanik oporu elektrycznego niektórych materiałów ochłodzonych do temperatur bliskich zera bezwzględnego. Przykładem naturalnie występującego w przyrodzie nadprzewodnika jest pierwiastek Niob, który to przechodzi do fazy nadprzewodzącej w temperaturze poniżej 9.2 Kelwina. Jeśli z takiego materiału wykonamy pierścień i przepuścimy przez niego prąd elektryczny zadziała on jak elektromagnes, wytwarzając pole magnetyczne. Niezwykłe własności stanu nadprzewodzącego powodują jednak, że strumień pola magnetycznego przez taki pierścień może przyjmować tylko określone (skwantowane) wartości, podobnie jak poziomy energetyczne w atomie. Dwa najniższe energetycznie poziomy wykorzystuje się do stworzenia kubitu. To właśnie na tego typu nadprzewodzących kubitach opiera swoje działanie komputer kwantowy Sycamore firmy Google, na którym w ubiegłym roku po raz pierwszy wykazano eksperymentalnie przewagę czasową maszyny kwantowej nad klasyczną, wykorzystując 53 kubity [4]. Udało się tego dokonać dla tzw. problemu próbkowania (ang. sampling), sprowadzającego się do generowania ciągów bitów z rozkładu prawdopodobieństwa, który w przypadku komputera kwantowego jest określony przez sekwencję operacji wykonanych na kubitach. Komputery kwantowe oparte na kubitach nadprzewodzących rozwijają również firmy takie jak IBM, D-Wave i Rigetti Computing.

Artists-Rendition-Google-Quantum-Processor.
Artystyczna interpretacja komputera kwantowego Sycamore firmy Google.  Źródło

Od kilku już lat, proste (pod względem możliwości, nie zaś konstrukcji) komputery kwantowe działające na kubitach nadprzewodzących udostępnia potentat branży informatycznej – firma IBM. Każdy, za pomocą platformy online Quantum Experience, może spróbować swoich sił w programowaniu procesora 5 i 15 kubitowego. Istotnym ograniczeniem tych maszyn jest jednak nie tylko ilość dostępnych kubitów ale i długość tak zwanego czasu koherencji, który determinuje to ile operacji jesteśmy w stanie na nich wykonać. Niestety, pomimo ogromnej wykonanej pracy, dla procesorów kwantowych działajacych w oparciu o kubity nadprzewodzących, czasy te są nadal stosunkowo krótkie. Dlatego też, wciąż rozwijane są alternatywne kierunki, między innymi wykorzystujące fotony (np. firma Xanadu) oraz pułapki jonowe (np. firma IonQ).

Udostępnione przez IBM komputery kwantowe, nie dostarczają jak dotąd bezpośrednich korzyści obliczeniowych nad maszynami klasycznymi. Działanie komercyjnego 20 kubitowego komputera kwantowego IBM Q System One możemy emulować nawet na smartfonie. Wykładniczy charakter wzrostu ilości zmiennych potrzebnych do opisu stanu komputera kwantowego sprawia jednak,  że emulacji 100 kubitowego komputera nie bylibyśmy już w stanie przeprowadzić nawet na najpotężniejszym superkomputerze klasycznym. Przezwyciężenie problemów związanych z utrzymywaniem stabilnej pracy tych rozmiarów komputerów kwantowych pozwoli wejść w obszar niedostępny dla komputerów klasycznych.

IBM-Q-System-One
Design 20 kubitowego komputer kwantowy IBM Q System One może wzbudzać zachwyt.  Jednak, już nie jego możliwości, które da się osiągnąć na przeciętnym smartfonie.

Zanim to jednak nastąpi, warto zastanowić się nad tym co daje nam możliwość korzystania z istniejących już komputerów kwantowych. Moim zdaniem, do najważniejszych korzyści płynących z dostępu do tych maszyn należą: możliwość nauki pracy z komputerami kwantowymi,  poznawanie niedoskonałości które je charakteryzują i testowanie algorytmów kwantowych (w tym symulacji kwantowych). Zrozumienie niedoskonałości, przejawiających się w postaci błędów, pozwala opracowywać nowe i skuteczniejsze algorytmy tak zwanej kwantowej korekcji błędów. Na dostępnych komputerach kantowych możemy symulować proste kwantowe układy fizyczne, takie jak na przykład molekuły. Jest to domena chemii kwantowej, a symulacje takie pozwalają na przykład wyznaczać energie stanów podstawowych układów atomów. Wykorzystując komputery kwantowe, udało się to zrobić m.in. dla cząsteczki wodoru molekularnego [5]. W przyszłości, symulacje takie będzie można rozszerzyć do skomplikowanych molekuł, co może znaleźć zastosowanie w farmakologii.

Symulacje układów fizycznych na komputerach kwantowych prowadzone są m.in. w moim zespole Quantum Cosmos Lab, który działa na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie. Badania te skupiają się na symulowaniu nie zwykłych atomów, ale „atomów przestrzeni” z których może być zbudowana tkanka naszej przestrzeni. Korzystając z komputerów kwantowych firmy IBM, udało nam się pomyślnie zasymulować pojedynczy kwant przestrzeni [6]. Celem jest jednak to by symulować setki i tysiące takich cegiełek, co pozwoliłoby nam zbadań proces formowania się przestrzeni. Komputery kwantowe otwierają drogę do tego by faktycznie to zrobić, musimy się jednak liczyć z tym, że może nam to zająć kolejne 20-30 lat pracy, podążającej za rozwojem komputerów kwantowych.

Kolejna obiecująca możliwość jaka rysuje się za sprawą zastosowania obecnych i spodziewanych w najbliższych latach komputerów kwantowych to kwantowe generatory liczb losowych, wykorzystujące probabilistyczną naturę świata kwantowego. Generatory takie są szczególnie atrakcyjne ze względu na zastosowanie w rozwiązaniach kryptograficznych, związanych z cyberbezpieczeństwem, takich jak generowanie kluczy. Zaleta komputerów kwantowych leży w tym, że losowość wygenerowania klucza może zostać zagwarantowana (certyfikowana) niemożliwością zasymulowania algorytmu generatora na superkomputerze klasycznym.  Algorytmy generujące certyfikowane kwantowe ciągi liczb losowych wykorzystują obwody kwantowe, podobne do tych za pomocą których  firma Google wykazała, przywołaną wcześniej, korzyść (supremację) komputerów kwantowych.

Duże zainteresowanie budzi zastosowanie komputerów kwantowych w obszarach sztucznej inteligencji i uczenia maszynowego. W przyszłości, kwantowe algorytmy uczenia maszynowego mogą stanowić konkurencję do algorytmów klasycznych. Wskazuje na to szereg badań teoretycznych [7]. Jednakże, na chwilę obecną implementacje takich algorytmów są w bardzo wczesnej fazie. Na uwagę zasługuje przykład niedawno przeprowadzonej symulacji prostego modelu neuronu – tak zwanego perceptronu – na 5 kubitowym komputerze kwantowym [8]. Natomiast, dobrym punktem wyjścia do rozpoczęcia przygody z kwantowych uczeniem maszynowym jest platforma PennyLane, udostępniona przez firmę  Xanadu.

Na koniec, warto przywołać również przypadek tak zwanych adiabatycznych komputerów kwantowych. Komercyjnym przykładem takiego komputera są maszyny oferowane przez firmę D-Wave. Można do nich uzyskać dostęp online poprzez platformę Leap.  Komputery takie realizują wyspecjalizowany algorytm związany z poszukiwaniem stanu o najniższej energii (tzw. stanu podstawowego) dla układu kubitów. Algorytm ten pozwala podejmować szereg złożonych zagadnień, takich jak problemy optymalizacyjne i uczenie maszynowe. Komputery te są również doskonałym narzędziem do przeprowadzania eksperymentów fizycznych dla układów wielu atomów [9]. Pomimo dużej (rzędu 2000) liczby kubitów, zjawiska kwantowe ogrywają w nich inną rolę niż w omawianych wcześniej komputerach kwantowych (powodują tzw. tunelowanie kwantowe) i jak do tej pory nie wykazano by komputery te potrafiły rozwiązać problemy zbyt trudne dla superkomputerów klasycznych.  Programując je można się jednak, z pewnością, bardzo wiele nauczyć.

Niewątpliwie, żyjemy w bardzo ciekawych czasach, które można uznać za przedsionek do ery komputerów kwantowych. Pierwsze z nich są już dostępne do użytku za pośrednictwem platform internetowych, otwartych dla wszystkich chcących spróbować swoich sił w ich programowaniu. I choć nie dają one jeszcze bezpośredniej przewagi nad komputerami klasycznymi, pozwalają zmierzyć się ze światem mechaniki kwantowej i algorytmów kwantowych. Osobiście, bardzo cieszy mnie to, że dzięki komputerom kwantowych, niezwykły kwantowy świat, jak dotąd poznawany prawie wyłącznie przez fizyków teoretyków, zaczyna eksplorować coraz większa liczba śmiałków, w tym szczególnie dużo, otwartych na nowe wyzwania, młodych osób. Liczę na to, że to właśnie dzięki nim na dobre zadomowimy się w świecie komputerów kwantowych.

Bibliografia

[1] J. Mielczarek, Technologie kwantowe a cyberbezpieczeństwo, CyberDefence24, 2019.
[2] R. Feynman, QuantumMechanicalComputers, Optics News, Vol. 11, Issue 2, 11–20, 1985.
[3] L. M. K. Vandersypen, et al., Experimental realization of Shor’s quantum factoring algorithm using nuclear magnetic resonance,  Nature 414, 883–887, 2001.
[4] F. Arute, et al., Quantum supremacy using a programmable superconducting processor, Nature 574, 505-510, 2019.
[5] Y. Cao, et al., Quantum Chemistry in the Age of Quantum Computing, Chemical Reviews, 119 (19), 10856-10915,2019.
[6] G. Czelusta,  J. Mielczarek, Quantum simulations of a qubit of space, arXiv:2003.13124 [gr-qc], 2020.
[7] J. Biamonte, P. Wittek, et al., Quantum machine learning, Nature 549, 195–202, 2017.
[8] Tacchino, F., Macchiavello, C., Gerace, D. et al., An artificial neuron implemented on an actual quantum processor, npj Quantum Inf 5, 26, 2019.
[9] R. Harris, et al.,  Phase transitions in a programmable quantum spin glass simulator,
Science, Vol. 361, Issue 6398, 162–165, 2018.

© Jakub Mielczarek

Artykuł został opublikowany na portalu Polish Brief.

Kwantowe technologie kosmiczne

Większość z nas każdego dnia korzysta z jednej z kwantowych technologii kosmicznych – zegarów atomowych, zainstalowanych na satelitach systemów nawigacyjnych, takich jak GPS i  Galileo. Zastosowanie zjawisk kwantowych w branży kosmicznej nie jest więc czymś nowym. Jednakże, ostatnie lata przyniosły szereg obiecujących wyników, które pozwalają spojrzeć na wykorzystanie kwantowej natury światła i materii w warunkach kosmicznych w dużo szerszym kontekście.  Niniejsze opracowanie ma na celu dostarczenie zwięzłego przeglądu głównych możliwości jakie rodzą się na styku mechaniki kwantowej i inżynierii kosmicznej.

Zegary, sensory i metrologia kwantowa

Jak już wspomniałem powyżej, zegary atomowe są najpowszechniejszym przykładem technologii kwantowych wykorzystywanych w warunkach kosmicznych. W szczególności, satelity europejskiego systemu Galileo pracują w oparciu o zarówno tradycyjne zegary Rubidowe jak i precyzyjniejsze pasywne masery wodorowe (odpowiedniki laserów działające w zakresie mikrofal). W przypadku zegara wodorowego, wykorzystywane jest doskonale znane wszystkim astronomom przejście kwantowe pomiędzy poziomami w strukturze nadsubtelnej wodoru, czyli osławiona linia neutralnego wodoru 21 cm, której odpowiada częstotliwość około 1,420 GHz (co można wyprowadzić na gruncie mechaniki kwantowej). Okres oscylacji równy jest więc około 0.704 ns a osiągana dokładność pracy takiego zegara to około 0.45 ns na 12h pracy zegara [1]. Niezwykle dokładny pomiar czasu z wykorzystaniem maserów wodorowych przekłada się na większą precyzję pozycjonowania (sięgający 10 cm promień błędu) systemu Galileo, względem konkurencyjnych systemów GPS, Beidou i GLONASS. Warto dodać, że precyzyjne pomiary czasu mają ogromne znaczenie nie tylko dla nawigacji naziemnej, ale również dla nawigacji statków kosmicznych.

Kolejnego, jednak już nieco mniej oczywistego przykładu zastosowania układu kwantowego w warunkach kosmicznych dostarczają kondensaty Bosego-Einsteina. Kondensaty Bosego-Einsteina są konfiguracjami w których bozonowe stopnie swobody (cząstki o spinie całkowitym) makroskopowo obsadzają ten sam stan podstawowy (stan o najniższej energii).  W konsekwencji, gęstość prawdopodobieństwa poszczególnych cząstek (związana z ich funkcją falową) nabiera interpretacji koncentracji materii w kondensacie i może być poddawana analizie optycznej.  Własność ta znajduje zastosowanie m.in. przy budowie interferometrów atomowych, które okazują się być niezwykle wrażliwe na zmiany natężenia pola grawitacyjnego. Opierające swoje działanie na kondensatach Bosego-Einsteina grawimetry doczekały się już wdrożeń komercyjnych, a ich czułość sięga poniżej 10^{-9} g [2] (g jest przyśpieszeniem grawitacyjnym na powierzchni Ziemi).

Wysoka wrażliwość interferometrów atomowych na zmiany pola grawitacyjnego wygenerowała zainteresowanie przeprowadzaniem eksperymentów w warunkach swobodnego spadku. Badania takie, motywowane zarówno możliwymi zastosowaniami praktycznymi jaki i chęcią lepszego zrozumienia wpływu pola grawitacyjnego na układy kwantowe, zostały przeprowadzone m.in. we wieży swobodnego spadku w Bremie [3].  W 2017 roku udało się natomiast zrealizować pierwszą kosmiczną misję z wykorzystaniem kondensatu Bosego-Einsteina. Eksperyment ten przeprowadzono z pomocą rakiety MAIUS-1, wykonującej lot paraboliczny i osiągającej pułap około 243 km nad poziomem morza [4].

BEC
Schemat rakietowego eksperyment z kondensatem Bosego-Einsteina, przeprowadzonego w 2017 roku . Źródło

Powodzenie misji stanowi ważny krok w stronę grawimetrii satelitarnej opartej na wykorzystaniu kondensatów Bosego-Einsteina.  Ma to również znaczenie w kontekście zrozumienia pewnych aspektów oddziaływania (klasycznego) pola grawitacyjnego na układy kwantowe. Watro również podkreślić, że opracowane pod kątem eksperymentu rozwiązania inżynieryjne będą mogły znaleźć szersze zastosowanie w ramach kwantowych technologii kosmicznych. Przeprowadzenie eksperymentu wiązało się bowiem z koniecznością dostosowania skomplikowanego układu doświadczalnego do wymogów stawianych przed technologiami kosmicznymi (m.in. odporność na wibracje i przeciążenia, ograniczenia na rozmiary układu). Warto w tym miejscu zaznaczyć, że wytworzenie kondensatu Bosego-Einsteina wymaga ochłodzenia materii do skrajnie niskich temperaturach, przyjmujących typowo wartości rzędu ułamków mikrokelwinów.

Z punktu widzenia badań podstawowych, interferometry atomowe oparte na kondensatach Bosego-Einsteina rozważane są również w kontekście budowy nowego typu naziemnych i kosmicznych detektorów fal grawitacyjnych [5].   Zanim jednak takie rozwiązania powstaną, własności mechaniki kwantowej zostaną wykorzystane w celu redukcji szumu w obecnie przygotowywanym kosmicznym obserwatorium fal grawitacyjnych LISA. Już teraz, w celu obejścia problemu szumu śrutowego w naziemnych interferometrycznych obserwatoriach fal grawitacyjnych stosuje się tak zwane ściśnięte stany kwantowe światła [6]. Podejście to jest przykładem metrologii kwantowej, wdrożonej już w warunkach ziemskich, a której implementacja w misjach satelitarnych pozostaje jedynie kwestią czasu.

Komunikacja kwantowa

Niewątpliwie, wzbudzającym największe emocje i oczekiwania kierunkiem rodzącym się na styku inżynierii kosmicznej i mechaniki kwantowej jest tak zwana łączność kwantowa (o której pisałem m.in. we wpisie kwantowa łączność satelitarna).  W istocie, jest to wykorzystanie stanów kwantowych pojedynczych fotonów do przesyłania informacji. Ponieważ jednak przepustowość, powstałych w ten sposób, kanałów kwantowych nie może konkurować z przepustowością dostępnych łączy klasycznych, kanał kwantowy wykorzystywany jest jedynie do wymiany tak zwanego sekretnego klucza (będącego ciągiem bitów). Klucz ten umożliwia zastosowanie silnych algorytmów klasycznej kryptografii symetrycznej (takich jak AES-256) dla danych przesyłanych drogą konwencjonalną. Podejście takie nosi nazwę kwantowej dystrybucji klucza (ang. quantum key distribution – QKD) i stanowi jeden z filarów kryptografii kwantowejZaletą takiego rozwiązania jest, wynikająca z zasad mechaniki kwantowej, teoretyczna niepodatność protokołów na ataki (w praktyce, istnieją jednak możliwości ataków fizycznych na systemy kryptografii kwantowej).

Z uwagi na wykładniczne tłumienie sygnału kwantowego w światłowodach, wykorzystanie  przestrzeni kosmicznej daje obecnie jedyną możliwość przeprowadzenia kwantowej dystrybucji klucza na odległościach kilkuset i kliku tysięcy kilometrów.  Pierwszej tego typu satelitarnej komunikacji kwantowej dokonano w 2017 roku z wykorzystaniem chińskiego satelity Micius [7].

QDK
Zrealizowane, obecne i planowane misje satelitarne przeprowadzające kwantową dystrybucję klucza. Źródło

Rozwiązania satelitarne w skali satelity Micius są niezwykle skomplikowane i kosztowne. Aby więc, przy ograniczonych zasobach, przyśpieszyć prace nad satelitarną komunikacja kwantową, grupy badawcze skłaniają się obecnie do dużo tańszych rozwiązań nanosatelitarnych, w szczególności w standardzie CubeSat. Eksperymenty te mają zarówno na celu przetestowanie pracy systemów optyki kwantowej w warunkach kosmicznych jak również samą łączność kwantową pomiędzy satelitą z stacją naziemną.

Do kategorii misji testujących same układy optyczne (bez łączności) można zaliczyć nanosatelitę Galassia (2U) [8], za pomocą której w 2015 roku przeprowadzono testy systemu Spontaneous Parametric DownConversion (SPDC), wytwarzającego splątane stany kwantowe mające zastosowanie w protokole Ekerta E91.  Kierunek ten jest rozwijany obecnie ramach cubesata SpooQySat (3U) [9]. Do misji nanosatelitarnych mających na celu przetestowanie łączności kwantowej możemy natomiast zaliczyć proponowane projekty takie jak Nanobob (12U) [10] i Q3Sat (3U) [11]. Są one zaprojektowane w konfiguracji uplink. Ich konstrukcja nie wymaga więc instalowania systemu do przygotowywania stanów kwantowych a jedynie prostszy układ detekcyjny. Z drugiej strony jednak, rozwiązanie takie jest mniej korzystne z punktu widzenia czynnika atmosferycznego. Mianowicie, w przypadku  konfiguracji downlink, turbulencje atmosferyczne wpływają na kierunek propagacji fotonów dopiero na końcowym etapie drogi, powodując jedynie nieznaczne poszerzenie wiązki. Natomiast, w przypadku konfiguracji uplink, kierunek propagacji fotonów jest najpierw zaburzony przez czynnik atmosferyczny,  po czym dewiacja od wyjściowej osi optycznej narasta w trakcie jego dalszej propagacji. Dlatego też, zarejestrowanie fotonu wymagać będzie większej średnicy zwierciadła. 

Ciekawym wynikiem w kontekście komunikacji kwantowej było niedawne wykorzystanie retroreflektoru zainstalowanego na jednym z satelitów należących do systemu GLONASS do odbicia pojedynczych fotonów [12]. Wyniki tego eksperymentu rodzą nadzieję na przyszłe wykorzystanie pasywnych układów optycznych umieszczonych na satelitach do prowadzenia komunikacji kwantowej. Pozwoliłoby to znacznie uprościć konstrukcję i obniżyć koszty satelitów do kwantowej  dystrybucji klucza, przenosząc środek ciężkości złożoności technologicznej takich systemów na powierzchnię Ziemi.

Warto zaznaczyć, że komunikacja kwantowa z uwagi na wykorzystanie światła laserowego wpisuje się również w kierunek komunikacji laserowej, dostarczającej w przypadku łączności klasycznej dużo większych przepustowości niż łączność radiowa (co jest prostą konsekwencją mniejszej długości fali). Obszar ten jest obecnie rozwijany w Europie w ramach projektu ESA ARTES ScyLight. Postęp w technologii kwantowej łączności satelitarnej (szerzej – kwantowego internetu) oraz metrologii kwantowej jest również obecnie wspierany m.in. w ramach programu flagowego Komisji Europejskiej Quantum Flagship.

Teleportacja kwantowa i efekty relatywistyczne

Nie można utworzyć idealnej kopii (klonu) nieznanego stanu kwantowego, co stanowi fundament bezpieczeństwa komunikacji kwantowej. Możliwe jest natomiast dokonanie jego kwantowej teleportacji (przesłania stanu kwantowego z prędkością światła), wykorzystując połączenie kanału kwantowego oraz klasycznego. Teleportacja kwantowa stanowi bardzo ważny element systemów przesyłania i przetwarzania informacji kwantowej. Jej eksperymentalnego potwierdzenia dokonano po raz pierwszy w 1997 roku [13]. Po 20 latach od tego przełomowego momentu, w 2017 roku, przeprowadzono pierwszą teleportację stanu kwantowych fotonu z powierzchni Ziemi na niską orbitę okołoziemską [14]. W ramach tego eksperymentu dokonano teleportacji sześciu różnych typów stanów kwantowych fotonu. W każdym z przypadków zaobserwowano poziom wierności (ang. fidelity) przesłanych stanów przekraczający wartość dla najlepszej strategii klasycznej, co potwierdza realność przeprowadzonego protokołu teleportacji.

Teleportation
Układ eksperymentalny za pomocą którego w 2017 roku przeprowadzono teleportację stanu kwantowego z powierzchni Ziemi na niską orbitę okołoziemską. Źródło

Jak już wcześniej zaznaczono, wykorzystanie zjawisk kwantowych w warunkach kosmicznych dostarcza zarówno narzędzi do badania zjawisk grawitacyjnych (np. detekcja fal grawitacyjnych) jak również pozwala empirycznie eksplorować pewien obszar oddziaływania (klasycznego) pola grawitacyjnego na układy kwantowe. Dotyczy to przede wszystkim wpływu pola grawitacyjnego na ewolucję układu kwantowego. Okazuje się, że efekty związane z geometrią czasoprzestrzeni mogą mieć niezaniedbywalny wpływ na zachowanie układów kwantowych w pobliżu Ziemi. Rozważania te, w szczególności, dotyczą kwantowej teorii pola na przestrzeniach zakrzywionych. Teorię tę stosujemy głównie do opisu promieniowania czarnych dziur oraz pierwotnych zaburzeń kosmologicznych, jednakże kwantową teorię pola na przestrzeniach zakrzywionych możemy wykorzystać również do opisu paczek falowych fotonów wykorzystywanych w komunikacji kwantowej. Co więcej, bardzo dobre przybliżenie geometrii czasoprzestrzennej w pobliżu Ziemi dostarcza metryka Schwarzschilda, opisująca nierotujące czarne dziury (w przypadku Ziemi, promień Schwarzchilad wynosi ok. 9 mm). Wykorzystując tę metrykę można np. przewidzieć poziom szumu w kanale kwantowym wynikający z grawitacyjnego przesunięcia ku czerwieniCo ciekawe, wartość skumulowanego efektu relatywistycznego (grawitacyjne przesunięcie ku czerwieni + relatywistyczny efekt Dopplera) może prowadzić do błędów w komunikacji kwantowej sięgających ~1% [15]. Taki wkład nie będzie mógł zostać pominięty przy planowaniu przyszłych satelitarnych systemów do kwantowej dystrybucji klucza, podobnie jak uwzględnienie efektów relatywistycznych jest dzisiaj niezbędne do osiągnięcia odpowiednio wysokiej precyzji systemów nawigacji satelitarnej.

Podsumowanie

Kwantowe technologie coraz odważniej wkraczają w świat branży kosmicznej, skutkując kształtowaniem się nowej fascynującej dziedziny – kwantowych technologii kosmicznych. Jako główne praktyczne zastosowania tego kierunku rozwojowego  rysują się obecnie: precyzyjne pomiary czasu (nawigacja), pomiary grawimetryczne oraz komunikacja kwantowa. Ponadto, kosmiczne technologie kwantowe dostarczają narzędzi do prowadzenia nowych eksperymentów w zakresie badań podstawowych takich jak: detekcja fal grawitacyjnych i  wpływ pola grawitacyjnego na zjawiska kwantowe. Szczególnie interesująca jest możliwość urzeczywistnienia wizji satelitarnego internetu kwantowego, który dostarczyłby niepodatnego na kryptoanalizę sposobu wymiany szczególnie wrażliwych informacji. Wprowadzenie takiego rozwiązania stanowiłoby odpowiedź na obecne i przyszłe zapotrzebowanie zarówno cywilne jak i wojskowe. Na drodze do osiągnięcia tego celu stoi wiele wyzwań, zarówno natury technicznej jak i organizacyjnej (m.in. związanej z finansowaniem tak ambitnych przedsięwzięć).  Należy być również świadomym ograniczeń takiego systemu, m.in. wynikających z możliwości zakłócenia jego pracy zarówno poprzez naturalne czynniki atmosferyczne jak i  wywołane celowo, sztuczne, zakłócenia.   

Pozwolę sobie na koniec dodać, że warunki kosmiczne stanowią całkiem dogodne środowisko dla systemów kwantowych. Próżnia kosmiczna dostarcza mianowicie odpowiednią izolację układów kwantowych przed niepożądanym wpływem środowiska (które prowadzi do dekoherencji układów kwantowych). Wiązki fotonów mogą zaś bez przeszkód propagować informację kwantową poprzez przestrzeń kosmiczną. Stwarza to nadzieję na rozwój kwantowych technologii kosmicznym, nie tylko w najbliższym otoczeniu Ziemi ale również w bardziej odległych obszarach. Z teoretycznego punktu widzenia, dopuszczalne jest “rozpięcie” kanału kwantowego chociażby pomiędzy Ziemią (lub orbitą okołoziemską) a Księżycem. Pozwoliłoby to m.in. na pobieranie informacji kwantowej bezpośrednio ze zlokalizowanych na Księżycu sensorów kwantowych i przetwarzanie informacji kwantowej bez konieczności jej “tłumaczenia” na informację klasyczną. Jednym z zastosowań takiego rozwiązania mogłaby być budowa kosmicznych interferometrycznych teleskopów optycznych, wykorzystujących teleportację stanów kwantowych światła [16]. Otrzymana syntetyczna apertura takich teleskopów byłaby nieporównywalna z jakąkolwiek istniejącą obecnie, dając możliwość prowadzenia obserwacji optycznych z niespotykaną rozdzielczością kątową. To oczywiście wciąż jedynie śmiałe pomysły, dopuszczalne jednak przez fizykę i nie aż tak odległe z technicznego punku widzenia. Od nas zależy to czy kiedykolwiek się urzeczywistnią.

Bibliografia

  • [1] https://www.esa.int/Our_Activities/Navigation/Galileo/Galileo_s_clocks
  • [2] V. Menoret et al., Gravity measurements below 10−9 g with a transportable absolute quantum gravimeterScientific Reports  8, Article number: 12300 (2018
  • [3] H. Müntinga et al., Interferometry with Bose-Einstein Condensates in Microgravity, Phys. Rev. Lett. 110 (2013) no.9, 093602 [arXiv:1301.5883]
  • [4] D. Becker et al.Space-borne Bose-Einstein condensation for precision interferometr, Nature 562, 391–395 (2018) [arXiv:1806.06679]
  • [5] S. Dimopoulos, P. W. Graham, J. M. Hogan, M. A. Kasevich and S. Rajendran, Gravitational Wave Detection with Atom Interferometry, Phys. Lett. B 678 (2009) 37 [arXiv:0712.1250]
  • [6] LIGO Scientific Collaboration, Enhanced sensitivity of the LIGO gravitational wave detector by using squeezed states of light, Nature Photonics 7, 613–619 (2013) [arXiv:1310.0383]
  • [7] Sheng-Kai Liao, et al., Satellite-relayed intercontinental quantum network, Phys. Rev. Lett. 120, 030501 (2018) [arXiv:1801.04418]
  • [8] Z. Tang, et al., Generation and Analysis of Correlated Pairs of Photons aboard a Nanosatellite, Phys. Rev. Applied 5 (2016) no.5, 054022 [arXiv:1603.06659]
  • [9] R. Bedington et al.Nanosatellite experiments to enable future space-based QKD missions, EPJ Quantum Technology 2016 3:12
  • [10] E. Kerstel et al.Nanobob: a CubeSat mission concept for quantum communication experiments in an uplink configuration, EPJ Quantum Technology 5, Article number: 6 (2018)  [arXiv:1711.01886]
  • [11] S. P. Neumann et al.Q3Sat: quantum communications uplink to a 3U CubeSat—feasibility & design, EPJ Quantum Technol. (2018) 5: 4 [arXiv:1711.03409]
  • [12] L. Carderaro et al.,  Towards Quantum Communication from Global Navigation Satellite System, Quantum Sci. Technol. 4, 015012 (2019) [arXiv:1804.05022].
  • [13] D. Bouwmeester et al., Exerimental quantum teleportation, Nature 390, 575–579 (1997) [arXiv:1901.11004]
  • [14] J-G Ren et al.Ground-to-satellite quantum teleportation, Nature 549, 70–73 (07 September 2017) [arXiv:1707.00934]
  • [15] D. E. Bruschi, T. Ralph, I. Fuentes, T. Jennewein and M. Razavi, Spacetime effects on satellite-based quantum communications, Phys. Rev. D 90 (2014) no.4, 045041. [arXiv:1309.3088]
  • [16] E. Khabiboulline et al., Quantum-Assisted Telescope Arrays [arXiv:1809.03396]

@ Jakub Mielczarek

 

Kwantowa dystrybucja klucza

W moich wcześniejszych wpisach kilkukrotnie odwoływałem się do kwantowej dystrybucji klucza (KDK), będącej jednym z głównych filarów kryptografii kwantowejMiało to miejsce w kontekście omawiania takich zagadnień jak: kwantowa łączność satelitarna, internet kwantowy oraz bezpieczeństwo kryptowalut (wpisy: Kwantowa łączność satelitarna, Dwanaście technologii jutra i Kryptowaluty-Kwanty-Kosmos). Niniejszy wpis można potraktować jako uzupełnienie techniczne tych rozważań. Poniżej, przedstawię fizyczne podstawy na których opiera się kwantowa dystrybucja klucza oraz omówię, wprowadzony w 1984 roku, protokół Bennetta-Brassard BB84. Jest to najbardziej znany i historycznie pierwszy przykład protokołu KDK opartego na superpozycji kwantowej.  W późniejszych latach, wprowadzono także protokoły oparte na innych własnościach mechaniki kwantowej, m.in. na splątaniu kwantowym (np. protokół E91). Dyskusja szerokiego spektrum rozważanych obecnie protokołów kryptografii kwantowej wykracza poza ramy tego wpisu. Czytelnika zainteresowanego zapoznaniem się z pełniejszym obrazem tematu zachęcam do przestudiowania np. przeglądowego artykułu arXiv:1802.05517. Tytułem wstępu dodam jeszcze, że do zrozumienia niniejszego tekstu przydatna jest znajomość zasad mechaniki kwantowej. Niezapoznanego z nimi Czytelnika zachęcam do przestudiowania mojego wpisu Elementary quantum computing oraz znajdujących się w nim odnośników.

Zacznijmy więc. W największym skrócie, kwantowa dystrybucja klucza pozwala na, jak mówimy, bezwarunkowo bezpieczną wymianę klucza w oparciu o własności mechaniki kwantowej. To w jaki sposób fizyka mikroświata pozwala zapewnić “bezwarunkowe bezpieczeństwo”, postaram się wyjaśnić poniżej.  Jak to również zostanie dokładniej omówione w dalszej części tekstu, przepustowość wykorzystywanych do KDK tzw. kanałów kwantowych nie dorównuje tym osiąganym w klasycznych łączach światłowodowych oraz radiowych. Z tego też powodu, łącza kwantowe wykorzystywane są obecnie do przesyłania sekretnych kluczy, pozwalających zaszyfrować (klasyczną) wiadomość, nie zaś do transmisji samej wrażliwej informacji.  Udostępniony, za pośrednictwem KDK, klucz może być wykorzystany do zaszyfrowania danych np. z użyciem bardzo silnego symetrycznego szyfru AES 256 Przykładową architekturę systemu do kwantowej dystrybucji klucza, zawierającą zarówno kanał kwantowy (do przesyłania klucza) oraz kanał klasyczny (do przesyłania zaszyfrowanych danych oraz informacji pomocniczych), przedstawia rysunek poniżej:

QKD.gif
Przykładowa architektura systemu do kwantowej dystrybucji klucza z kanałem kwantowym oraz kanałem klasycznym.  Źródło

W przypadku kanału klasycznego opartego o łącze światłowodowe, zaszyfrowana informacja przesyłana jest za pomocą światła. Do przesłania klucza poprzez kanał kwantowy również wykorzystywane jest pole elektromagnetyczne. Z tą jednak różnicą, że odbywa się to za pośrednictwem nie klasycznych impulsów  lecz pojedynczych kwantów światła, czyli fotonów. Do zakodowania informacji kwantowej wykorzystywane są zaś stany polaryzacji światła. Przedyskutujmy to bardziej szczegółowo. Mianowicie, światło docierające do nas, na przykład, ze Słońca lub z żarówki nie jest spolaryzowane. Na poziomie klasycznym,  oznacza to, że światło tego typu składa się z fal elektromagnetycznych oscylujących jednakowo we wszystkich kierunkach  prostopadłych do osi propagacji światła.  Żeby dokonać selekcji fal elektromagnetycznych, których wektor natężenia pola oscyluje w wybranym przez nas kierunku, stosujemy polaryzator. Przepuszczając niespolaryzowane światło przez polaryzator liniowy dokonujemy jego polaryzacji.  Jeśli za polaryzatorem liniowym umieścilibyśmy kolejny podobny polaryzator, jednakże z osią polaryzacji ustawioną prostopadle do tej pierwszej, dokonalibyśmy całkowitego wygaszenia światła. Zachęcam do przeprowadzenia tego prostego eksperymentu np. pozyskując dwa polaryzatory liniowe z powierzchni wyświetlaczy ciekłokrystalicznych zepsutego zegarka lub kalkulatorka.

Zgodnie z regułą dodawania wektorów,  każdą falę elektromagnetyczną można zapisać jako sumę dwóch fal elektromagnetycznych, prostopadłych do siebie w płaszczyźnie polaryzacji. Czyli inaczej, każdą polaryzację liniową światła można opisać jako superpozycję dwóch normalnych względem siebie polaryzacji, nazwijmy je horyzontalną H (ang. horizontal) oraz wertykalną V (ang. vertical).

Polar
Polaryzacja światła niespolaryzowanego z wykorzystaniem polaryzatora liniowego.

Przeprowadźmy teraz następujący eksperyment myślowy. Załóżmy, że dysponujemy źródłem światła niespolaryzowanego oraz zestawem płytek półprzepuszczalnych tłumiących światło. Ustawiające je kolejno na osi optycznej, możemy doprowadzić do sytuacji w której  przez zestaw płytek przedostawać się będą jedynie pojedyncze fotony. Możemy w tym miejscu zapytać co się stanie gdy pojedynczy foton napotka polaryzator światła?  Okazuje się, że foton taki z pewnym prawdopodobieństwem może przejść przez polaryzator, jak również z pewnym prawdopodobieństwem może zostać przez niego zatrzymany. Jest to konsekwencją kwantowej natury fotonu, co przejawia się istnieniem fotonu w stanie kwantowym |\Psi \rangle, będącym superpozycją kwantową dwóch polaryzacji, co zapisujemy jako:

|\Psi \rangle = \alpha |H \rangle +\beta |V \rangle,

tak, że |\alpha |^2+|\beta|^2=1. Prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w stanie |H \rangle równe jest P(H)=|\alpha|^2, natomiast prawdopodobieństwo znalezienia fotonu w stanie |V \rangle równe jest P(V)=|\beta|^2. Stany bazowe |H \rangle i |V \rangle odpowiadają dwóm prostopadłym względem siebie polaryzacjom. Tak więc, polaryzacja światła ma swoje źródło na poziomie pojedynczych fotonów i związana jest z tym, że są one bezmasowymi bozonami o spinie 1. Dla cząstek takich istnieją dwa możliwe rzuty wektora momentu pędu na kierunek jego propagacji. Te dwa stany tak zwanej skrętności (ang. helicity) fotonów, na poziomie klasycznym, odpowiadają dwóm możliwym polaryzacjom kołowym światła (lewoskrętnej i prawoskrętnej). Stany o polaryzacji lewoskrętnej i prawoskrętnej są superpozycjami stanów o polaryzacji liniowej:

| L \rangle  = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H \rangle  - i |V \rangle   \right)     oraz   | R \rangle  = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|H \rangle  + i |V \rangle   \right) .

Fakt, że foton jest opisywany przez kwantową superpozycję dwóch stanów bazowych, czyli jego stan należy do dwuwymiarowej przestrzeni Hilberta ma ogromne znaczenie z punktu widzenia kwantowej teorii informacji. A mianowicie, foton może być wykorzystany jako nośnik najmniejszej porcji informacji kwantowej, tak zwanego kubitu. Z tego też powodu możemy utożsamić stany polaryzacji fotonu ze stanami bazowymi kubitu: |H \rangle = |0 \rangle oraz |V \rangle = |1 \rangle. Oznaczmy tę bazę jako \mathcal{B}_1 = \{ |0 \rangle, |1 \rangle \}.

Do przeprowadzenia kwantowej dystrybucji klucza, w ramach protokołu BB84, będziemy potrzebowali wprowadzić jeszcze jedną bazę. Mianowicie, \mathcal{B}_2 = \{ |+ \rangle, |- \rangle \}, gdzie stany bazowe wyrażają się jako  następujące superpozycje:

|+ \rangle =  \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle +| 1 \rangle   \right)   oraz    |- \rangle =  \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle -| 1 \rangle   \right).

Jeśli stany bazowe |0 \rangle i |1 \rangle opisują stany polaryzacji pod kątami odpowiednio 0^{\circ} i 90^{\circ} to stany polaryzacji |+ \rangle i |- \rangle opisują polaryzacje liniowe odpowiednio pod kątami 45^{\circ}  i -45^{\circ}. Warto w tym miejscu również zaznaczyć, że stany |0 \rangle i |1 \rangle są stanami własnymi operatora \hat{Z} do wartości własnych +1 i -1 odpowiednio. Natomiast, stany |+ \rangle i |- \rangle są stanami własnymi operatora \hat{X} odpowiednio do wartości własnych  +1 i -1 (operatory \hat{Z} i \hat{X} odpowiadają macierzom Pauliego \sigma_z i \sigma_x). Wszystkie z wprowadzonych tu stanów bazowych można wytworzyć przepuszczając foton przez polaryzator liniowy ustawiony pod jednym z czterech kątów. Ponadto, powyższy dobór baz nie jest przypadkowy i wynika z faktu, że bazy \mathcal{B}_1 i \mathcal{B}_2 są przykładem tak zwanych wzajemnie nieobciążonych baz (ang. mutually unbiased bases), spełniających warunek:

|\langle \psi | \phi \rangle |^2 = \frac{1}{2},

gdzie | \psi \rangle \in  \mathcal{B}_1 a | \phi \rangle \in  \mathcal{B}_2. Oznacza to, że bazy te wykluczają się w sposób maksymalny, uniemożliwiając jednoczesne wykonywanie pomiarów na kubicie w obydwu bazach. W przypadku fotonu ma to następujące konsekwencje: Jeśli przygotujemy foton np. w stanie bazowym |0 \rangle i przepuścimy go przez analizator polaryzacji pod kątami  0^{\circ} i 90^{\circ} (odpowiadających stanom polaryzacji bazy \mathcal{B}_1), to po przejściu przez taki analizator nie nastąpi zmiana stanu fotonu. Jednakże, jeśli na drodze tego samego fotony umieścimy analizator polaryzacji pod kątami  45^{\circ} i -45^{\circ} (odpowiadających stanom polaryzacji bazy \mathcal{B}_2), to po przejściu przez taki analizator foton  z prawdopodobieństwem 1/2 znajdzie się w stanie o polaryzacji |+ \rangle i z takim samym prawdopodobieństwem w stanie o polaryzacji   |- \rangle.  Jeśli foton ten będziemy chcieli zaś ostatecznie przeanalizować wykorzystując analizator ze stanami polaryzacji odpowiadającymi bazie \mathcal{B}_1 to z prawdopodobieństwem 1/2 zaobserwujemy ten foton w stanie  |0 \rangle i z prawdopodobieństwem 1/2 w stanie |1 \rangle (taki sam wynik uzyskalibyśmy jeśli foton byłbym przygotowany w stanie |1 \rangle). Próba przeanalizowania stanu fotonu we wzajemnie obciążonej bazie wprowadza więc maksymalną niepewność co do stanu początkowego.  Własność  ta znajduje bezpośrednie zastosowanie w protokole BB84.

Przyjdźmy więc do jego omówienia. Rozważamy nadawcę (A) i odbiorcę (B) których zwyczajowo określamy mianem Alicji i Boba.  Alicja ma za zadanie przesłać do Boba klucz (ciąg bitów) wykorzystując stany polaryzacji fotonu. Ma ona do dyspozycji 4 stany polaryzacji fotonu odpowiadające stanom bazowym baz \mathcal{B}_1 i \mathcal{B}_2. Klucz stanowi losowy ciąg binarny 01, który można wygenerować np. wykorzystując kwantowy generator liczb losowych (z artykułu arXiv:1405.0453 można dowiedzieć się jak samemu zbudować taki generator w oparciu o smartfon). Alicja wprowadza następujące kodowanie klasycznych bitów klucza za pomocą kwantowych stanów  polaryzacji fotonu. Mianowicie, stany polaryzacji |0 \rangle i |+ \rangle kodują 0, natomiast stany polaryzacji |1 \rangle i |- \rangle kodują 1. W praktyce, generacja klucza odbywa się przez losowe ustalanie jednej z czterech pozycji polaryzatora Alicji (rysunek poniżej).

qbejE
Przykładowa realizacja protokołu BB84. Źródło

Przesyłane od Alicji spolaryzowane fotony Bob będzie rejestrował za pomocą analizatora który może przyjmować takie same orientacje jak polaryzator Alicji. Stany polaryzatora Alicji nie są publiczne, Bob będzie więc dokonywał analizy polaryzacji fotonów w (wybieranych losowo) bazach \mathcal{B}_1 i \mathcal{B}_2.  Na podstawie swoich pomiarów, odzyska on pewien ciąg bitów. Następnym krokiem jest publiczne ogłoszenie przez Boba stanów analizatora (baz) w których dokonywał on kolejnych pomiarów. Warto tu podkreślić, że oczywiście nie upublicznia on samych wyników pomiarów. W ramach danej bazy możliwe są wciąż dwie wartości bitu, wartość klucza pozostaje więc ukryta. Następuje teraz tak zwane uzgodnienie baz (ang. basis reconciliation). Mianowicie, Alicja informuje Boba które użyte przez niego bazy są zgodne ze stanami polaryzacji w których przygotowała ona sekretny klucz. Zdekodowane przez Boba, dla uzgodnionych baz, wartości bitów stanowią sekretny klucz. Ostatnim etapem protokołu jest zweryfikowanie czy nie nastąpiła próba “podsłuchania” przesyłanych kanałem kwantowym informacji.

Omówienie tej kwestii zacznijmy od wyartykułowania jednej z fundamentalnych własności mechaniki kwantowej. Mianowicie, nie jest możliwe idealne skopiowanie nieznanego stanu kwantowego. Nie jest więc możliwe “podłączenie się” do kanału kwantowego i skopiowanie przesyłanej informacji.  Własność ta jest ucieleśniona w twierdzeniu o zakazie klonowania, którego dowód dla przypadku kubitów przedstawiam poniżej.

Twierdzenie o zakazie klonowania (ang. no-cloning theorem) leży u podstaw bezwarunkowego bezpieczeństwa protokołów kryptografii kwantowej. Mówi ono, że nie jest możliwe wykonanie dokładnej kopii (klonu) nieznanego stanu kwantowego. Sformułowanie tego twierdzenia zawdzięczamy Williamowi Woottersowi oraz Wojciechowi Żurkowi [Ref]. Poniżej przedstawię jego dowód, dla przypadku stanu kubitu.

Rozważmy stan kwantowy |\Psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle. Naszym celem będzie próba skopiowania tego stanu, czyli chcemy aby pewien inny stan, nazwijmy go  |\Phi \rangle, przetransformować (“nadpisać”) w stan |\Psi \rangle, nie zmieniając jednocześnie stanu  |\Psi \rangle. Rozważamy więc wyjściowo stan będący następujacym iloczynem tensorowym:  |\Psi \rangle \otimes |\Phi \rangle. Ponadto, wprowadźmy (unitarny) operator kopiujący, nazwijmy go  \hat{K}, którego działanie  powinno być następujące: \hat{K}(|\Psi \rangle \otimes |\Phi \rangle)=|\Psi \rangle \otimes |\Psi \rangle, dla dowolnego stanu |\Psi \rangle. Żeby sprawdzić czy jest to możliwe, zadziałajmy najpierw operatorem \hat{K} na stany bazowe  | 0 \rangle i | 1 \rangle. Działanie operatora \hat{K} powinno dawać  \hat{K}(|0 \rangle \otimes |\Phi \rangle)=|0\rangle \otimes |0 \rangle oraz \hat{K}(|1 \rangle \otimes |\Phi \rangle)=|1\rangle \otimes |1 \rangle .  Zakładając, że powyższe jest spełnione, spróbujmy przeprowadzić kopiowanie stanu |\Psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle. Skorzystamy w tym miejscu z własności liniowości operatorów rozważanych w mechanice kwantowej (czyli np. \hat{O}(|a\rangle+|b\rangle)=\hat{O}(|a\rangle)+\hat{O}(|b\rangle) , dla dowolnych stanów |a\rangle i |b\rangle). W konsekwencji, otrzymujemy:

\hat{K}(|\Psi \rangle \otimes |\Phi \rangle) = \hat{K}((\alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle) \otimes |\Phi \rangle) = \alpha \hat{K}(|0 \rangle \otimes |\Phi \rangle)+\beta \hat{K}(|1 \rangle \otimes |\Phi \rangle) = \alpha |0\rangle \otimes |0 \rangle + \beta |1\rangle \otimes |1 \rangle.

Stan końcowy  jakiego jednak oczekiwalibyśmy w wyniku kopiowania (klonowania) to:

|\Psi \rangle \otimes |\Psi \rangle = (\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle)\otimes (\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) = \alpha^2 |0\rangle  \otimes|0\rangle + \alpha \beta |0 \rangle  \otimes|1\rangle + \alpha\beta|1\rangle  \otimes|0\rangle + \beta^2 |1\rangle  \otimes|1\rangle,

który jest odzyskiwany tylko w szczególnych przypadkach stanów bazowych,  tzn. kiedy \alpha=1 i \beta=0 lub \alpha=0\beta=1. Powyższa analiza dowodzi tego, że nie jest możliwe skopiowanie nieznanego stanu kubitu. Przeprowadzenie dowodu dla przypadku dowolnego stanu |\Psi \rangle pozostawiam Czytelnikowi jako ćwiczenie.

Pomimo zakazu klonowania stanów kwantowych, istnieją pewne strategie ataków na protokoły kryptografii kwantowej. Np. podsłuchujący (nazwijmy ją Ewa) może ustawić na drodze optycznej fotonu analizator i próbować odczytać pewne bity klucza. Jak to już jednak dyskutowaliśmy powyżej, obecność takiego analizatora w sposób nieodłączny wiąże się z wpłynięciem na stany fotonu. W celu wyeliminowania możliwości podsłuchu, Alicja i Bob porównują publicznie część klucza. Jeśli w wybranym ciągu bitów nie zauważą różnić, mają pewność, że nie nastąpiła próba ataku. Oczywiście, w praktyce mogą występować pewne różnice w ciągu bitów wynikające z występowaniem szumu, generującego pewien poziom błędów. Istnieje jednak metoda dokładnego określenia jaki poziom niezgodności porównywanego ciągu bitów jest dopuszczalny dla zachowania poufności wymiany klucza. Metoda ta opiera się na wykorzystaniu teorii informacji i pozwolę sobie zarysować jej uproszczoną postać. Zacznijmy od odpowiedzi na pytanie jak dużo błędów do odczytywanego przez Boba ciągu bitów będzie wprowadzał ustawiony przez Ewę, na drodze fotonu, analizator. Analizator ten może być dostosowany do bazy \mathcal{B}_1 lub \mathcal{B}_2.  Prosta probabilistyka mówi nam, że prawdopodobieństwo nie zaburzenia przez Ewę pojedynczego bitu przesyłanego klucza wynosi:

P= \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{3}{4}.

Czyli, starająca się wykraść sekretny klucz Ewa, w 25 % przypadków wprowadzi błąd do przesyłanego ciągu bitów. Ponadto, ponieważ z prawdopodobieństwem 1/2 analizuje ona foton we właściwej bazie, z takim też prawdopodobieństwem odczyta ona poprawnie wartość przesyłanego bitu. Ponieważ, wyjściowo, nie zna ona ustawień polaryzatora Alicji, nie jest ona jednak w stanie stwierdzić który bit odczytała prawidłowo a który nie. Odkodowania połowy przesyłanych bitów klucza może dokonać jedynie poznawszy (post factum) ustawienia polaryzatora Alicji. Może to więc zrobić dla bitów dla których następuje sprawdzenie klucza przez Alicję i Boba.

Do skwantyfikowania ilości błędów wprowadzanych podczas kwantowej transmisji informacji używa się wielkości zwanej QBER (Quantum Bit Error Rate) – e która zdefiniowana jest jako stosunek liczby kubitów z błędem (N_e) względem całkowitej liczby przesyłanych kubitów N:

e  := \frac{N_e}{N}.

Jeśli przez f \in [0,1] oznaczymy część kubitów analizowanych przez Ewę, to wprowadzany przez Nią QBER wynosi e = \frac{1}{4} f, gdzie czynnik 1/4 wynika z przeprowadzonych powyżej rozważań probabilistycznych. Przywołajmy teraz pojęcie informacji wzajemnej (ang. mutual information), która pozwoli nam skwantyfikować jaka część informacji jest tracona w kanale kwantowym w wyniku ataków Ewy. Jak można pokazać, wzajemna informacja pomiędzy Alicją a Bobem wyraża się jako

I(A : B) = 1 - h(e),  gdzie h(e) = -e \log_2 e - (1-e) \log_2 (1-e)

to tak zwana entropia informacyjna Shannona. Wzajemna informacja pomiędzy Alicją a Ewą wynosi zaś

I(A : E) = \frac{1}{2}f = 2e,

co wynika z faktu, iż Ewa (znając położenie polaryzatorów Ewy) jest w stanie teoretycznie odzyskać wartości połowy “podsłuchiwanych” przez Nią bitów. Jeśli informacja w układzie Alicja-Ewa I(A : E) zaczyna być większa niż pomiędzy Alicją i Bobem I(A : B), przesyłanie klucza przestaje być bezpieczne. Na tej podstawie, rozpatrując warunek graniczny I(A : E)=I(A : B), otrzymujemy, że (przy powyższych założeniach) bezpieczeństwo kwantowej dystrybucji klucza zapewnione jest jeśli poziom błędów e jest mniejszy niż około 17 \%Jeśli, porównując wybrane bity klucza, Alicja i Bob zanotują różnicę na wyższym poziomie, nie można zaakceptować przesyłanego klucza  i należy powtórzyć całą procedurę.   

Przeprowadzona powyżej analiza ma znaczenie praktyczne i znajduje zastosowanie w istniejących systemach do kwantowej dystrybucji klucza. Na rynku istnienie obecnie kilka zestawów które pozwalają przeprowadzić KDK wykorzystując protokoły oparte na superpozycji kwantowej. Na rysunku poniżej przedstawiono przykładowy zestaw wykorzystujący zmodyfikowaną wersję protokołu BB84, tzw. protokół T12

ToshibaQKD
Przykładowy dostępny komercyjnie zestaw do kwantowej dystrybucji klucza. Źródło

Do przesyłania fotonów, dostępne komercyjnie systemy kryptografii kwantowej stosują światłowody. Niepożądaną cechą takiego rozwiązania jest jednak wykładnicze tłumienie natężenia światła w funkcji przebytego przez światło dystansu. Z uwagi na twierdzenie o zakazie klonowania oraz na fakt posługiwania się w kwantowej dystrybucji klucza pojedynczymi fotonami, nie jest możliwe stosowanie klasycznych wzmacniaczy sygnału.  Dlatego też, kwantowa dystrybucja klucza za pośrednictwem światłowodów jest dzisiaj ograniczona do odległości poniżej około 400 km.

BitRate
Wykładniczy zanik przepustowości kwantowej dystrybucji klucza w funkcji odległości. Źródło

Wraz z długością linii transmisyjnej spada jej przepustowość.  Na bardzo krótkich dystansach osiągane są obecnie wartości około 10 Mb/s (arXiv:1807.04484). Na odległościach rzędu 50 km wartość ta spada już do około 1 Mb/s. Natomiast, nieubłagana natura zaniku eksponencjalnego sprawia, że na dystansach około 400 km KDK można przeprowadzać w tempie jedynie około 1 bitu na sekundę (co jest wielkością niepraktyczną).

Możliwym rozwiązaniem dla powyższych trudności jest stosowanie powielaczy kwantowych (ang. quantum repeater). Są to jednakże bardzo złożone systemy, będące wciąż w fazie badań.  Dużo bardziej obiecującym rozwiązaniem jest wykorzystanie faktu jedynie odwrotnego z kwadratem odległości zaniku natężenia światła w próżni, oraz dużo słabszego niż w ciele stałym tłumienia fotonów w gazach. Rozwiązanie to wiąże się z wykorzystaniem przestrzeni kosmicznej do przeprowadzenia kwantowej dystrybucji klucza. Możliwość taka została pomyślnie potwierdzona eksperymentalnie na skalach międzykontynentalnych w 2017 roku z wykorzystaniem protokołu BB84. Zagadnienie to opisuję bardziej szczegółowo we wpisie Kwantowa łączność satelitarna.

© Jakub Mielczarek

Kwantowe cienie

Rzucany przez przedmiot cień nie zawsze daje nam właściwe wyobrażenie o naturze oświetlanego obiektu. Dowodzi tego chociażby twórczość duetu artystycznego Tim Noble i Sue Webster, której przykład pozwoliłem sobie zamieścić poniżej.

Real Life Is Rubbish
Tim Noble i Sue Webster Real Life Is Rubbish (2002). Źródło

Przyjrzymy się powyższemu zdjęciu trochę bliżej. Widzimy na nim stertę śmieci które, pod określonym kątem, rzucają cień dwojga ludzi – Twórców instalacji. Jednym z zamysłów Artystów było niewątpliwie to by wprowadzić nasz mózg w zakłopotanie, poprzez dwoistość interpretacji tego co widzimy. Co mianowicie jest pierwotne, czy są to sylwetki ludzi czy też oświetlane przedmioty? Oczywiście, z punktu widzenia fizyki , sprawa jest prosta, pierwotna jest sterta rupieci, natomiast cień jest wtórny, a ponadto nie jest on obiektem fizycznym. Wchodząc na warstwę czysto artystyczną, Twórcy skłaniają nas więc do interpretowania prawdziwego (fizycznego) życia jako nie wartego więcej niż to co zdołaliśmy wyrzucić. Świat alegorii nie rządzi się jednak prawami fizyki, przez co nieskrępowanie moglibyśmy kontynuować dalej nasze wywody na temat interpretacji i znaczeń. Jest to niewątpliwe zarówno przyjemne ćwiczenie naszej kreatywności oraz intelektualne wyzwanie. Chciałbym jednak żebyśmy, po tej małej rozgrzewce, wykorzystali nasze umysły do zastanowienia się nad tym czy skoro nie jeden cień to może większa ich ilość może nam pozwolić odsłonić naturę obiektu  który te cienie rzuca. Wyobraźmy sobie na przykład, że instalację Real Life Is Rubbish zaczynamy oświetlać pod innymi kątami. Otrzymane cienie nie będą miały już nic wspólnego z sylwetkami ludzi, mogą nie przypominać zupełnie niczego.  Czy istnieje jednak metoda na to by wykorzystując te dwuwymiarowe rzuty zrekonstruować trójwymiarowy kształt sterty śmieci? Okazuje się, że jest to możliwe, chociaż w przypadku nietransparentnych obiektów taka procedura ma swoje istotne ograniczenia. Transparentność przedmiotów zależy jednak w dużym stopniu od długości fali którymi je oświetlimy. Jeśli zamiast światła widzialnego użylibyśmy rentgenowskiego zakresu promieniowania elektromagnetycznego, na podstawie rzucanych przez przedmiot cienieni moglibyśmy zrekonstruować jego trójwymiarowy kształt. Metoda ta nazywa się tomografią i jest powszechnie stosowana w obrazowaniu medycznym.  Bodajże najpopularniejszym jej przykładem jest tomografia komputerowa (CT), pozwalająca dzięki obrazom (cieniom) rentgenowskim, otrzymanym pod różnym kątem, stworzyć trójwymiarowy obraz, na przykład mózgu (film poniżej).

Od strony matematycznej, zasada działania tomografii opiera się na tak zwanej transformacie Radona. Jest to operacja  która na podstawie dwuwymiarowych projekcji (cieni) pozwala odzyskać trójwymiarowy rozkład gęstości obiektu.

Podobną do tomografii komputerowej procedurę rekonstrukcji trójwymiarowego obrazu możemy przeprowadzić również w mikroskali – w świecie kwantowym. Nosi ona nazwę tomografii kwantowej.  Odpowiednikiem rozkładu gęstości jest tu tak zwana funkcja Wignera, którą otrzymujemy ze stanu  kwantowego | \Psi \rangle, lub ogólniej tak zwanej macierzy gęstości, która w przypadku stanów czystych (ang. pure states) może być wyrażona w następujący sposób: \hat{\rho} = | \Psi \rangle \langle \Psi |.  Na przykład, dla cząstki w jednym wymiarze funkcję Wignera W(x,p), gdzie x to położenie a p to pęd możemy zapisać jako

W(x,p) = \frac{1}{\pi \hslash} \int_{-\infty}^{+\infty} \langle x+y | \hat{\rho} | x-y \rangle e^{-2i py/\hslash} dy.

Z uwagi na ścisłą relację pomiędzy funkcją Wignera a macierzą gęstości, poprzez tomografię kwantową rozumiemy zrekonstruowanie, poprzez dokonanie odpowiednich pomiarów “kwantowych cieni” stanu układu kwantowego, jednego z tych dwóch obiektów.  Chciałbym Ci teraz drogi Czytelniku pokazać jak to wygląd w praktyce i w jaki sposób tomografię stanu kwantowego będziesz mogła lub mógł przeprowadzić samodzielnie, nie odchodząc nawet od komputera.  Choć świat kwantowy może Ci się jawić jako zupełnie niedostępny a wykonywanie w nim pomiarów jako coś mało realnego, dzięki rozwojowi technologii kwantowych możemy się dzisiaj do niego całkiem łatwo dostać.  Wszystko za sprawą dostępnego publicznie pięciokubitowego komputera kwantowego firmy IBM, do którego możesz uzyskać dostęp poprzez tę stronę internetową. Jako wstęp do zagadnienia komputerów kwantowych zachęcam Cię do zapoznania się z moim wcześniejszym wpisem Elementary quantum computing.  Zakładając, że jesteś uzbrojona/ny w podstawowe wiadomości dotyczące mechaniki kwantowej, chciałbym przejść do pokazania Ci jak przeprowadzić tomografię stanu kwantowego pojedynczego kubitu, czyli stanu

|\Psi \rangle = \alpha|0\rangle +\beta |1\rangle,

gdzie, \alpha, \beta \in \mathbb{C} (liczby zespolone), a warunek normalizacji stanu kwantowego \langle \Psi | \Psi \rangle = 1 implikuje, że |\alpha|^2+|\beta|^2=1. Kubit jest nośnikiem najmniejszej porcji informacji kwantowej (odpowiednik klasycznego bitu) i od strony matematycznej jest elementem dwuwymiarowej przestrzeni wektorowej nad ciałem liczb zespolonych, czyli tak zwanej przestrzeni Hilberta.

Zanim przejdziemy do przeprowadzenia pomiarów na kubicie wykorzystując komputer kwantowy IBM Q, wprowadźmy najpierw niezbędne podstawy teoretyczne. Po pierwsze, będziemy chcieli zrekonstruować macierz gęstości \hat{\rho}, która w przypadku kubitu jest macierzą 2\times2 i można ją wyrazić jako:

\hat{\rho} = \frac{1}{2} \left( \hat{\mathbb{I}}+ \langle \hat{X}\rangle \hat{X}+ \langle \hat{Y}\rangle \hat{Y}+ \langle \hat{Z}\rangle \hat{Z}    \right) = \frac{1}{2}\left( \hat{\mathbb{I}}+\vec{S}\cdot \vec{\sigma}  \right) =\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1+\langle \hat{Z}\rangle & \langle \hat{X}\rangle-i\langle \hat{Y}\rangle \\ \langle \hat{X}\rangle+i\langle \hat{Y}\rangle   & 1-\langle \hat{Z}\rangle \end{array} \right) .

Powyżej, wprowadziłem operatory \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Z}, którym w reprezentacji macierzowej odpowiadają tak zwane macierze Pauliego:

\hat{X} := \sigma_x = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1  \\ 1  & 0 \end{array} \right),  \ \  \hat{Y} := \sigma_y = \left( \begin{array}{cc} 0 & -i  \\ i  & 0 \end{array} \right),  \ \ \hat{Z} := \sigma_z = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & -1 \end{array} \right) ,

składające się na wektor \vec{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z).  Natomiast,  wektor \vec{S} = (\langle \hat{X}\rangle,\langle \hat{Y}\rangle,\langle \hat{Z}\rangle) złożony jest z wartości średnich które można obliczyć w oparciu o ogólne wyrażenie: \langle \hat{A}\rangle := \text{tr} (\hat{\rho} \hat{A}).

Po drugie, warto w tym momencie wprowadzić użyteczne pojęcie sfery Blocha. Mianowicie, jest to sfera jednostkowa która reprezentuje wszystkie możliwe stany kwantowe kubitu. Każdy punkt na tej sferze to inny stan kwantowy i wskazuje na niego wprowadzony powyżej wektor \vec{S}. Równanie sfery Blocha to więc \vec{S}\cdot \vec{S} = \langle \hat{X}\rangle^2+\langle\hat{Y}\rangle^2+\langle \hat{Z}\rangle^2=1. Warto zaznaczyć, że powyższe równanie sfery jest konsekwencją tego, iż \hat{\rho}=\hat{\rho}^2, co wynika z założenia dotyczącego czystości stanu kwantowego.

Bloch

Sferę Blocha wygodnie sparametryzować poprzez poprzez kąty \phi \in [0, 2 \pi) oraz \theta \in [0, \pi] tak, że stan kwantowy kubitu możemy z ich pomocą zapisać jako

| \Psi \rangle = \cos(\theta/2) |0 \rangle + e^{i \phi} \sin (\theta/2)| 1 \rangle,

gdzie pominięty został nieistotny globalny czynnik fazowy. Tomografia stanu kwantowego kubitu równoważna jest ze znalezieniem składowych wektora \vec{S},  wskazującego na konkretny punk na sferze Blocha. Wektor ten jest obiektem który chcemy zrekonstruować, podobnie jak rozważany wcześniej oświetlany przedmiot. Korzystając z tej analogii, możemy obrazowo powiedzieć, że wektor Blocha \vec{S} “rzuca trzy cienie” będące jego składowymi (rzutami).  Tomografia stanu kwantowego wymaga określenia tych trzech składowych. Jednakże, w przypadku stanów czystych, długość wektora  \vec{S} jest równa jeden (spełnione jest równanie sfery \vec{S}\cdot \vec{S} = \langle \hat{X}\rangle^2+\langle\hat{Y}\rangle^2+\langle \hat{Z}\rangle^2=1) co wprowadza relację pomiędzy “cieniami”. W takim przypadku, wystarczy zmierzyć jedynie dwie spośród wszystkich trzech składowych. Trzeci rzut możemy zaś wyznaczyć z równania sfery Blocha.  Z uwagi na to, że w przypadku ogólnym, stan kwantowy poprzez jego oddziaływanie ze środowiskiem może nie być do końca czysty (staje się tak zwanym stanem mieszanym) zasadne jest by z góry nie dokonywać założenia o czystości stanu kwantowego.

Komputer kwantowy IBM, pracujący w oparciu  o tak zwane kubity nadprzewodzące, pozwala nam wykonać pomiary w bazie własnej operatora \hat{Z}.  Wielokrotne powtórzenie pomiarów w takiej bazie, dla każdorazowo przygotowanego na nowo takiego samego stanu kwantowego, pozwala wyznaczyć wartość średnią operatora \hat{Z} w tym stanie. Mianowicie, ponieważ \hat{Z}|0\rangle = |0\rangle oraz  \hat{Z} |1\rangle = -|1\rangle, otrzymujemy

\langle \hat{Z} \rangle = (\alpha^* \langle 0| +\beta^* \langle 1|)(\alpha|0\rangle -\beta |1\rangle) = |\alpha|^2-|\beta|^2 = P(0)-P(1),

gdzie wykorzystaliśmy ortonormalność stanów bazowych |0\rangle i |1\rangle. Poszukiwana średnia jest więc różnicą pomiędzy prawdopodobieństwami znalezienia układu w stanie |0\rangle a w stanie  |1\rangle. Wyznaczenie średnich \langle \hat{X} \rangle  oraz \langle \hat{Y} \rangle, niezbędnych do przeprowadzenia tomografii, nie jest już takie bezpośrednie. Należy mianowicie dokonać pomiarów w bazach własnych operatorów \hat{X}   oraz \hat{Y}. Jak pokażemy poniżej, można tego dokonać dokonując odpowiednich transformacji badanego stanu kwantowego.  Do tego celu będą nam pomocne dodatkowe operatory:

\hat{H} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1  \\ 1  & -1 \end{array} \right), \ \ \  \hat{S} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & i \end{array} \right), \ \ \  \hat{S}^{\dagger} = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & -i \end{array} \right) ,

pierwszy z nich to tak zwany operator Hadamarda, stowarzyszona z nim tak zwana bramka Hadamarda jest ważnym elementem w konstrukcji obwodów kwantowych. Operator \hat{S} to natomiast operator obrotu fazy o 90 stopni, natomiast \hat{S}^{\dagger} to jego sprzężenie hermitowskie.

Ponieważ jesteśmy już blisko momentu w którym zaczniemy dokonywać konkretnych pomiarów, zdecydujmy się na wybór stanu kwantowego który będziemy chcieli poddać tomografii. Mój wybór padł na stan:

| \Psi \rangle = \hat{T} \hat{H} | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle  \right),

dla którego wektor Blocha wskazuje, pod kątem \phi = 45^{\circ}, na punkt na  równiku na sferze Blocha. Natomiast, Ciebie drogi Czytelniku, po przeanalizowaniu poniższego przykładu,  zachęcam do eksperymentowania z wybranymi przez Ciebie stanami kwantowymi. Dodam jeszcze, że powyżej wykorzystałem operator \hat{T} zdefiniowany jest w następujący sposób:

\hat{T} := \sqrt{\hat{S}}=\left( \begin{array}{cc} 1 & 0  \\ 0  & e^{i \frac{\pi}{4}} \end{array} \right).

Dla wybranego przeze mnie stanu kwantowego, macierz gęstości przybiera postać:

\hat{\rho}_1 = \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1 & \frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{i}{\sqrt{2}}  \\  \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{i}{\sqrt{2}}   & 1 \end{array} \right) .

Sprawdzenie tego pozostawiam jako zadanie dla Ciebie. Porównują elementy tej macierzy z wprowadzoną na wstępie ogólną postacią macierzy gęstości dla kubitu możemy odczytać, że wartości operatorów \hat{X}, \hat{Y}, \hat{Y} mają w tym stanie następujące wartości:

\langle \hat{X} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}},  \ \ \langle \hat{Y} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}, \ \  \langle \hat{Z} \rangle = 0.

Przekonajmy się teraz na ile te przewidywania teoretyczne zgadzają się z pomiarami otrzymanymi w komputerze kwantowym charakteryzującym się błędami zarówno bramek kwantowych oraz odczytu jaki i wynikającymi z tak zwanej dekoherencji kwantowej, wprowadzającej mieszanie stanu kwantowego.

Pomiar \langle \hat{Z} \rangle

Poniżej, przedstawiono obwód kwantowy umożliwiający wytworzenie stanu | \Psi \rangle = \hat{T} \hat{H} | 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( | 0 \rangle + e^{i \frac{\pi}{4}} | 1 \rangle  \right), oraz wykonanie na nim pomiarów w bazie \{|0\rangle, |1 \rangle \}. Obwód taki możemy łatwo zbudować korzystając z kreatora dostępnego na stronie IBM Experience.

Tom-ZPowtarzając powyższy algorytm 1024 razy otrzymaliśmy  P(0)=0.567 oraz  P(1)=0.433, co pozwala wyznaczyć \langle \hat{Z} \rangle = P(0)-P(1)=0.134. Niepewność tego wyniku ma dwa źródła. Pierwsze jest związane z błędami instrumentalnymi pochodzącymi od błędów bramek, będącymi na poziomie 0.001 na bramkę jedno-kubitową, oraz błędami odczytu, który jest na poziomie 0.08. Drugie źródło niepewności jest związane ze statystyczną naturą mechaniki kwantowej. W  rozważanej sytuacji spodziewamy się, że z jednakowym prawdopodobieństwem będziemy otrzymywać jako wynik pomiaru stany |0\rangle oraz  |1\rangle. Zagadnienie oszacowania odpowiednich niepewności jest matematycznie równoważne do przypadku błądzenia przypadkowego w jednym wymiarze. Jeśli przez N_0 oznaczymy ilość wyników  |0\rangle a przez N_1 ilość wyników dla |1\rangle, tak, że N_0+N_1=N=1024, to odchylenie standardowe N_0 i N_1 wyniesie s=\sqrt{N/4}=16. Stąd, możemy wyznaczyć niepewność estymacji prawdopodobieństwa, wynikającą ze statystycznej natury mechaniki kwantowej na s/N = 1/\sqrt{4N} \approx 0.016. Sumaryczną niepewność pomiaru możemy więc określić na około 0.1, czyli około 10 \%.  Otrzymane wyniki, dla P(0) oraz P(1), są w granicach tej niepewności zgodne z teoretycznie przewidywanymi  wartościami.

Pomiar \langle \hat{X} \rangle

Wykonanie pomiaru wartości średniej \langle \hat{X} \rangle wymaga obrócenia układu tak żeby ustawić kierunek X wzdłuż osi Z. Można tego dokonać dzięki poniższej relacji operatorowej

\hat{X} = \hat{H} \hat{Z} \hat{H},

którą łatwo dowieść wykorzystując reprezentację macierzową zaangażowanych tu operatorów. Na tej podstawie, wartość średnią operatora \hat{X} w  stanie  |\Psi \rangle możemy wyrazić jako

\langle \hat{X} \rangle = \langle \Psi | \hat{X} |\Psi \rangle = (\langle \Psi | \hat{H}) \hat{Z} (\hat{H}|\Psi \rangle) .

Żeby więc obliczyć wartość  \langle \hat{X} \rangle należy na stan  |\Psi \rangle zadziałać operatorem \hat{H}, po czym wystarczy dokonać pomiarów w bazie operatora \hat{Z}. Ilustruje to poniższy obwód kwantowy:

Tom-XWykonując 1024 pomiary, zupełnie tak samo jak w przypadku \langle \hat{Z} \rangle, otrzymujemy  P(0)=0.870, P(1)=0.130, co pozwala nam wyznaczyć \langle \hat{X} \rangle = P(0)-P(1)=0.740. Rozważania dotyczące niepewności pomiaru są analogiczne jak w przypadku wyznaczania  \langle \hat{Z} \rangle.

Pomiar \langle \hat{Y} \rangle

Podobnie jak w przypadku pomiaru \langle \hat{X} \rangle, również wyznaczenie wartości średniej operatora \hat{Y} może zostać wykonana poprzez odpowiednią transformację stanu kwantowego. W tym przypadku, należy wykorzystać transformację:

\hat{Y} = (\hat{S} \hat{H}) \hat{Z}(\hat{S} \hat{H})^{\dagger} = (\hat{S} \hat{H}) \hat{Z}(\hat{H} \hat{S}^{\dagger}),

(udowodnij tę relację) na której podstawie:

\langle \hat{Y} \rangle = \langle \Psi | \hat{Y} |\Psi \rangle = (\langle \Psi | \hat{S} \hat{H}) \hat{Z} (\hat{H} \hat{S}^{\dagger}|\Psi \rangle).

W celu wyznaczenia wartość średniej \langle \hat{Y} \rangle musimy więc na otrzymany stan zadziałań najpierw operatorem \hat{S}^{\dagger}, następnie operatorem \hat{H}, po czym dokonać pomiarów w bazie operatora \hat{Z}, jak to przedstawiono na obwodzie poniżej:

Tom-Y

Stąd, postępując analogicznie jak w poprzednich przypadkach, otrzymujemy P(0)=0.837, P(1)=0.163, a to pozwala nam wyznaczyć  \langle \hat{Y} \rangle = P(0)-P(1)=0.674. Czym kończymy nasze pomiary. Pozostaje nam pozbierać otrzymane wyniki.

Zbierając wszystko razem  

Zbierając powyższe wyniki, otrzymujemy następujący wektor Blocha:

\vec{S} = (\langle \hat{X}\rangle,\langle \hat{Y}\rangle,\langle \hat{Z}\rangle) =  (0.740,0.674,0.134),

którego kwadrat modułu \vec{S}\cdot \vec{S} \approx 1.02 co jest, w granicach błędu, zgodne z przypadkiem stanu czystego. Natomiast, otrzymana w wyniku przeprowadzonej tomografii macierz gęstości to

\hat{\rho}_2 = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 1.134  & 0.740-i 0.674 \\ 0.740+i 0.674  & 0.866 \end{array} \right) .

Powszechnie stosowaną metodą ilościowego określenia zgodności dokonanej tomografii z wartością teoretyczną jest wyznaczenie tak zwanej wierności (ang. fidelity) zdefiniowanej w następujący sposób:

F(\hat{\rho}_1,\hat{\rho}_2):= \text{tr}\sqrt{\sqrt{\hat{\rho}_1}\hat{\rho}_2 \sqrt{\hat{\rho}_1}} .

Stosując powyższe wyrażenia do teoretycznie przewidzianej macierzy gęstości \rho_1 oraz macierzy gęstości otrzymanej w wyniku procedury tomografii \rho_2, otrzymujemy wartość F(\hat{\rho}_1,\hat{\rho}_2) \approx 99.996 \%. Wierność zrekonstruowanego kwantowego tomogramu jest więc bardzo wysoka, co jest jednak zgodne z oczekiwaniami dla pojedynczego kubitu. W przypadku tomografii przeprowadzonej dla większej ilości kubitów, wierność odwzorowania będzie odpowiednio niższa. O ile niższa? To już zależy od konkretnego stanu kwantowego. Jeśli masz ochotę na dalsze ambitniejsze wyzwanie, zachęcam Cię do przeprowadzenia tomografii jednego ze splątanych stanów Bella. Stany te odgrywają dużą rolę zarówno w obliczeniach kwantowych jak i w teleportacji kwantowej oraz kwantowej kryptografii (np. protokół Ekerta). W zastosowaniach tych, przygotowanie stanu kwantowego o odpowiednio wysokiej wierności ma znaczenie praktyczne i uzależnione jest od tego na przykład bezpieczeństwo zaszyfrowanej kwantowo informacji. Przyglądając się uważnie “kwantowym cieniom” stanu Bella możemy zdiagnozować czy jest on wystarczajaco “zdrowy” do wykonania powierzonego mu zadania.

© Jakub Mielczarek