Kauzalne Dynamiczne Triangulacje

W 1948-tym roku, w artykule Space-Time Approach to Non-Relativistic Quantum Mechanics, Richard Feynman wprowadził nowatorskie podejście do mechaniki kwantowej, oparte o tak zwane całki po trajektoriach. W jego oryginalnym sformułowaniu, amplituda prawdopodobieństwa przejścia cząstki punktowej z pozycji x_i w chwili t_i do pozycji x_f w chwili x_f wyraża się poprzez następującą całkę:

\langle x_f, t_f |x_i, t_i \rangle = \int D x(t) e^{\frac{i}{\hslash} S[x(t)]},

gdzie S[x] to tak zwane działanie, będące funkcjonałem trajektorii x od punktu (t_i,x_i) do punktu (t_f,x_f). Działanie wyraża się poprzez funkcję Lagrange’a L (lagranżjan) w następujący sposób:

S[x(t)] = \int_{t_i}^{t_f} dt L(x(t),\dot{x}(t),t) .

Sformułowanie całek po trajektoriach mówi nam, że amplituda prawdopodobieństwa (tzw. propagator) \langle x_f, t_f |x_i, t_i \rangle jest całką (sumą) po czynnikach fazowych e^{\frac{i}{\hslash} S[x(t)]} dla wszystkich możliwych trajektorii x(t) biegnących od (t_i,x_i) do (t_f,x_f). Praktyka wygląda jednak nieco inaczej i w obliczeniach uwzględniane są zazwyczaj jedynie trajektorie które nie łamią przyczynowości (kauzalności).  Są to trajektorie które, w swoje drodze od x_i do  x_f, nie cofają się nigdy wstecz w czasie.  Obrazuje to rysunek poniżej:

pathintegral
Trajektorie kauzalne i akauzalne. 

Niebieskie krzywe na powyższym rysunku to trajektorie kauzalne. Dla tych trajektorii, w dowolnej chwili czasu, np. dla t_2, cząstka istnieje tylko w jednym miejscu, oznaczonym jako szary punkt. Dla porównania, czerwona krzywa przedstawia trajektorię akauzalną, dla której, w przedziale od t_3 do t_1, następuje cofanie się w czasie. Alternatywnie, możemy tę trajektorię zinterpretować w następujący sposób: Mianowicie, idąc w przód w czasie, od  t_i aż do chwili t_1,  mamy jedną cząstkę. Natomiast, w chwili  t_1 następuje kreacja cząstki i antycząstki. Przy czym, antycząstka porusza się wstecz w czasie i anihiluje z wyjściową cząstką w chwili t_3. Natomiast, powstała w chwili  t_1 cząstka podąża trajektorią kauzalną aż do t_f. Uwzględnienie procesów kreacji i anihilacji cząsteczek wychodzi, jednakże, poza opis cząstkowy i wymaga odwołania się do opisu w języku kwantowej teorii pola. Opis całek po trajektoriach dla cząstek nie jest więc wystarczający do tego by opisać trajektorie akauzalne, dla których możemy w pewnych momentach (np. w chwili t_2) obserwować więcej niż jedną cząstkę (np. w chwili t_2 mamy ich 3). Warto tu wspomnieć, że Richard Feynman jeszcze w czasach przed powstaniem nowoczesnej kwantowej teorii pola (której sam był współtwórcą) zastanawiał się nad znaczeniem akauzalnych trajektorii.  Opisuje to James Gleick w książce biograficznej Feynmana pt. “Geniusz”. Feynman miał mianowicie pomysł, iż wszystkie cząstki i antycząstki danego typu (np. elektrony i pozytony) są częścią jednej bardzo długiej pozawijanej w czasoprzestrzeni trajektorii. Przy czym, jej częściom skierowanym w przód w czasie odpowiadają cząstki, natomiast odcinkom skierowanym w tył w czasie odpowiadają antycząstki. Zmiany zwrotu takiej trajektorii w czasie (tak jak w t_1 i t_3 na rysunku powyżej) interpretujemy zaś jako kreacja lub anihilacja par cząstka-antycząstka. Obraz ten możemy, jedynie do pewnego stopnia, zachować w ramach współczesnej kwantowej teorii pól. W szczególności, antycząstki faktycznie można opisywać jako poruszające się wstecz w czasie cząstki (w sensie zadziałania na stan cząstki operacjami inwersji w czasie oraz parzystości). Nie wchodząc w dalsze szczegóły pomysłu Feynmana, zwróćmy jeszcze jedynie uwagę na kwestię prędkości, czyli pochodnej położenia po czasie, v = \frac{dx}{dt}. Na powyższym rysunku, różniczkowalność trajektorii  (brak “kolców”) powoduje, że zbliżając się do punktów w t_1 i t_3 dla (czerwonej) trajektorii akauzalnej, prędkość v dąży do plus lub minus nieskończoności (w zależności od której strony dochodzimy do punktu zwrotu).  To zaś jest w sprzeczności ze Szczególną Teorią Względności która, poprzez lorentzowską geometrię czasoprzestrzeni Minkowskiego, wprowadza górne ograniczenie na prędkość rozchodzenia się informacji, równe prędkości światła w próżni.

Ograniczenie na prędkość propagacji nie istniałoby, gdyby czasoprzestrzeń posiadała geometrię euklidesową. Choć wiemy, że w rzeczywistości tak nie jest, okazuję się jednak, że przejście z czasoprzestrzeni Minkowkiego do przestrzeni euklidesowej ma znacznie na gruncie rozważań teoretycznych.  Mianowicie, rozpatrywanie euklidesowych wersji teorii pozwala na analizę tak zwanych instantonów. Są to, dla cząstek,  rozwiązania w odwróconej studni potencjału, czyli w obszarach do których klasyczne cząstki nie mają dostępu. Rozważanie instantonów, w szczególności, pozwala wyznaczać prawdopodobieństwa tunelowania kwantowego.

Wick
Obrót Wicka na płaszczyźnie zespolonej.

Technicznie, przejście z czasoprzestrzeni Minkowskiego do przestrzeni euklidesowej możemy przeprowadzić za pomocą  obrotu Wicka.  Jest to przykład tak zwanego przedłużenia analitycznego, rozszerzającego rzeczywistą zmienną czasową t do dziedziny liczb zespolonych.  W tym szczególnym przypadku, dokonujemy zamiany t \rightarrow i \tau, gdzie \tau jest naszą nową (euklidesową) zmienną czasową, zaś i to jednostka urojona (i^2=-1). Obrót Wick ma bardzo ważne znacznie w podejściu całek po trajektoriach. Przekształca on mianowicie zespoloną całkę do postaci przypominającej rzeczywistą sumę statystyczną Z(T) (ang. partition function), rozważaną w fizyce statystycznej.  Co więcej, okazuje się, że jeśli rozważymy szczególny typ trajektorii w których wracamy do wyjściowego położenia po czasie \frac{\hslash}{k_{B}T}, (gdzie k_B to stała Boltzmanna) całka po trajektorii da nam dokładnie funkcję rozdziału dla temperatury T:

Z(T) = \int dx  \langle x, i \frac{\hslash}{k_{B}T} |x, 0 \rangle  = \oint D x(t) e^{-\frac{1}{\hslash} S_E[x(t)]},

gdzie S_E[x(t)] = -i S[x(t)] to tzw. działanie euklidesowe. Natomiast, przy całkowaniu \oint, spełniony jest warunek x(\tau=0)=x(\tau=\frac{\hslash}{k_{B}T}). Jest to ważny wynik gdyż pozwala rozpatrywać  całki po trajektoriach jako pewne układy statystyczne i stosować do ich obliczania metody znane z fizyki statystycznej. W szczególności, chodzi o symulacje komputerowe oparte na metodach Monte Carlo. Stan równowagi termodynamicznej takiego układu można natomiast związać z euklidesową trajektorią klasyczną (minimalizującą działanie S_E[x(t)]). Fluktuacje termiczne dualnego systemu statystycznego odpowiadają zaś fluktuacjom kwantowym wokół rozważanej wyjściowo trajektorii klasycznej.

Powyższe rozważania możemy zastosować nie tylko do cząstek, ale również do pól fizycznych, takich jak pole grawitacyjne. W przypadku grawitacji, całki po trajektoriach pozwalają analizować możliwe efekty kwantowej natury zjawisk grawitacyjnych. Jednym z najlepiej zbadanych podejść do grawitacji kwantowej, bazującym na całkach po trajektoriach, są tak zwane Kauzalne Dynamiczne Triangulacje (ang. Causal Dynamical Triangulations – CDT), wprowadzone przez Jana Ambjørna, Jerzego Jurkiewicza oraz Renate Loll i rozwijane już przez ponad 20 lat.  W przypadku tym, zamiast cząstki, rozważamy konfigurację pola grawitacyjnego, której odpowiada geometria przestrzenna. Rozważania w  ramach CDT przeprowadzono najpierw dla przypadku modelu przestrzeni jednowymiarowej, po czym uogólniono je do dwóch oraz, finalnie, trzech wymiarów przestrzennych.

Ewolucji geometrii przestrzennej w czasie, odpowiada geometria czasoprzestrzenna. Konfiguracje czasoprzestrzenne, łączące dwa brzegowe (początkowy i końcowy) stany geometrii przestrzennej są zaś naszymi nowymi trajektoriami (analogicznie do przypadku rozważanej wcześniej cząstki punktowej).  Działaniem które należy rozważyć w całkach po trajektoriach jest tak zwane działania Hilberta-Einsteina, z którego można wyprowadzić (korzystając z zasady najmniejszego działania) równania ogólnej teorii względności (OTW). Do działania grawitacyjnego, można również dodać wkład odpowiadający polom materii, co jednak wprowadza dodatkowe komplikacje. W związku z tym, w przeprowadzonych dotychczas rozważaniach, koncentrowano się na tzw. przypadku próżniowym, uwzględniającym kontrybucję od (dodatniej) stałej  kosmologicznej \Lambda. Całkowite działanie ma, w tym przypadku, postać:

S= \frac{1}{16 \pi G} \int_{\mathcal{M}} d^4x \sqrt{-det(g)} (R-2\Lambda),

gdzie całkowanie odbywa się po rozmaitości \mathcal{M} z brzegami czasowymi \mathcal{B}_{i} oraz \mathcal{B}_{f}. Natomiast, G to stała Newtona, R jest skalarem krzywizny Ricciego, det(g) oznacza zaś wyznacznik z metryki czasoprzestrzennej g_{\mu\nu}.

W przypadku CDT, powyższe działanie poddawane jest obrotowi Wicka, umożliwiając przejście do geometrii euklidesowej. Z jednej strony, zabieg taki przeprowadza zespolony propagator do postaci rzeczywistej funkcji rozdziału, prowadząc do wspomnianego związku z fizyką statystyczną. Z drugiej jednak strony, geometria czasoprzestrzenna pozbawiana  zostaje stożków świetlnych, co pozwala na obecność akauzalnych wkładów do całki po trajektoriach.  Idea CDT opiera się na narzuceniu kauzalności trajektorii, pomimo rozważania teorii, wydawałoby się, euklidesowej. Wprowadzenie warunku kauzalności usuwa z całki po trajektoriach “gałęzie” odchodzące z głównego “pnia” czasoprzestrzeni łączącej stan początkowy | \mathcal{B}_{i} \rangle ze stanem końcowym | \mathcal{B}_{2} \rangle. Przedstawiono to na poniższym rysunku:

cdtpath2
Przykładowa trajektoria geometrii od konfiguracji początkowej | \mathcal{B}_{i} \rangle do konfiguracji końcowej | \mathcal{B}_{2} \rangle. W ramach Kauzalnych Dynamicznych Triangulacji, nie są dozwolone akauzalne rozgałęzienia geometrii.

Jedynie w przypadku jednowymiarowej części przestrzennej możliwe okazało się uzyskanie amplitud prawdopodobieństwa w oparciu o obliczenia analityczne. Zbadania przypadków wyżej-wymiarowych, w tym tego odpowiadającego  czterowymiarowej czasoprzestrzeni, wymaga zastosowania metod numerycznych. Przeprowadzenie symulacji kwantowych ciągłych geometrii wymaga jednakże ich wcześniejszej dyskretyzacji, w celu zredukowania liczby stopni swobody. W praktyce, stosowana jest tak zwana dyskretyzacja Regge, bazująca na triangulacji ciągłej geometrii czasoprzestrzennej. Przygotowana w ten sposób dyskretna geometria, wraz z dyskretną wersją działania, stanowi punkt wyjścia do przeprowadzenia symulacji komputerowych.

Narzucenie na (dyskretne) trajektorie warunku kauzalności, przekłada się na zachowanie w czasie ich topologii. Na przykład, jeśli wyjściowa geometria przestrzenna posiada topologię okręgu \mathbb{S} (jak na rysunku powyżej), pozostaje nią w całym toku ewolucji. Złamanie kauzalności, poprzez  pojawienie się odnóg, powoduje że topologia przestrzenna ulega zmianie, na przykład poprzez rozszczepienie okręgu na dwa okręgi. Sytuację taką widzimy w dolnej części, umieszczonego powyższej, rysunku.

Najbardziej zaawansowane na świecie symulacje CDT przeprowadzane są od wielu lat w Zakładzie Teorii Układów Złożonych w Instytucie Fizyki  na Uniwersytecie Jagiellońskim w Krakowie. W symulacjach tych, przyjmuje się topologię przestrzenną 3-sfery (\mathbb{S}^3), bądź też trójwymiarowego torusa (\mathbb{S}\times \mathbb{S}\times \mathbb{S}). Przy czym, przypadek topologii 3-sfery został, jak dotąd, najlepiej przebadany i na dyskusji, otrzymanych dla niego, wyników się tutaj skupimy.

Pierwszym ważnym rezultatem przeprowadzonych symulacji jest wykazanie istnienia nietrywialnej struktury fazowej czasoprzestrzeni. Zagadnie to dyskutuję w moim wcześniejszym wpisie  “Stany skupienia grawitacji“. Jedna z obserwowanych faz, tak zwana faza C, odpowiada przypadkowi semi-klasycznemu, który koresponduje z rozwiązaniami klasycznej OTW. Ważną własnością fazy C jest to, że jej wymiar,  na odpowiednio dużych skalach, równy jest 4, co jest zgodne z przypadkiem czterowymiarowej czasoprzestrzeni w której żyjemy. Jednakże, analiza tak zwanego wymiaru spektralnego (ang. spectral dimension), wskazuje na to że wymiar spada kiedy rozpatrujemy odpowiednio małe skale przestrzenne i czasowe [Ambjorn, Jurkiewicz & Loll (2005)]. Jest to tak zwana redukcja wymiarowa, spotykana również w innych podejściach do kwantowej grawitacji. Redukcja wymiarowa wskazuje na to, że choć na odpowiednio dużych skalach geometria fazy C zgodna jest z euklidesową wersją czasoprzestrzeni de Sittera, to jednak na małych skalach wykazuje ona naturę kwantową. Dlatego też, określamy ją mianem semi-klasycznej, czyli korespondującej z fizyką klasyczną, jednakże wciąż wykazującą pewne własności kwantowe. Poniżej przedstawiono jak wygląda przykładowa semi-klasyczna trajektoria otrzymana w ramach komputerowych symulacji CDT.

CDT
Przykładowa trajektoria instantonowa, otrzymana w ramach Kauzalnych Dynamicznych Triangulacji.  Źródło

Jak należy rozumieć przedstawiony powyżej kształt? Po pierwsze, uściślijmy, że oś symetrii rotacyjnej powyższej geometrii odpowiada czasowi urojonemu \tau. Po drugie, w czasie tym narzucony jest symetryczny warunek brzegowy \mathcal{B}(\tau_i)=\mathcal{B}(\tau_f), wymagany w przypadku przejścia od całek po trajektoriach do funkcji rozdziału Z(T).

Okazuje się, że otrzymany kształt dla trajektorii semi-klasycznej (odpowiadającej stanowi równowagi termodynamicznej w ujęciu fizyki statystycznej) zgodny jest z rozwiązaniem dla klasycznego instantonu de Sittera. Instanton ten jest euklidesową trajektorią (pod barierą potencjału) dla modelu de Sittera w zakresie czynnika skali a \in [0,a_0], gdzie a_0 = \sqrt{\frac{3}{\Lambda}}. Aby otrzymać równanie trajektorii instantonowej, rozważmy wszechświat de Sittera (metryka FRW z dodatnią stałą kosmologiczną oraz dodatnią krzywizną przestrzenną), dla którego równanie Friedmanna przyjmuje postać:

\left(\frac{\dot{a}}{a} \right)^2 = \frac{\Lambda}{3} - \frac{1}{a^2}.

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja hiperboliczna a(t) = a_0 \cosh (t/a_0). Jest to przykład nieosobliwej ewolucji, reprezentującego wszechświat ulegający najpierw kontrakcji, aż do minimalnej wartości czynnika skali równej  a_0, po czym następuje etap ekspansji. Zarówno kontrakcja jak i ekspansja przebiegają w sposób wykładniczy.

Niedozwolonym obszarem dla wprowadzonego powyżej przypadku lorentzowkiego jest przedział czynnika skali a \in [0,a_0), znajdujący się pod barierą potencjału dla tego modelu. Jednakże, dokonując  obrotu Wicka t \rightarrow i \tau przekształcamy rozwiązanie w postaci funkcji cosinus hiperboliczny do funkcji cosinus:

a(\tau) = a_0 \cos (\tau/a_0),

tak, że a \in [0,a_0]. Jest to poszukiwane rozwiązanie euklidesowe, dla obszaru pod barierą potencjału modelu lorentzowskiego. Ponieważ czynniki skali a jest zdefiniowany jako wartość nieujemna, rozwiązanie instantonowe jest dobrze określone w  skończonym przedziale czasu urojonego:  \tau \in [- \frac{\pi}{2}a_0, \frac{\pi}{2}a_0]. Znając ewolucję czynnika skali możemy wyznaczyć również ewolucję objętości, która wyraża się jako  V(\tau) = 2 \pi^2 a^3(\tau) =2 \pi^2 a^3_0 \cos^3 (\tau/a_0). Okazuje się, że funkcja ta jest zgodna z wynikami symulacji przeprowadzonymi w ramach CDT. Mówiąc ściślej, pokrywa się ona z, otrzymaną z uśrednienia po trajektoriach, zależnością objętości części przestrzennej od czasu \tau [Ambjorn, Jurkiewicz & Loll (2004)].

Pokrywanie się przewidywań CDT z klasyczną geometrią przestrzeni de Sittera to bardzo istotny rezultat. Pokazuje on, że jednorodna i izotropowa klasyczna czasoprzestrzeń może wyłonić się jako wynik uśrednienia kwantowych (często bardzo niejednorodnych) trajektorii. Ponadto, w przeciągu ostatnich lat pokazano, że również przewidywane w ramach CDT fluktuacje kwantowe instantonu są z godne z przewidywaniami analitycznymi bazującymi o model de Sittera [Ambjorn, Gorlich, Jurkiewicz & Loll (2008)]. Wyniki te, jak również rezultaty dotyczące struktury fazowej grawitacji oraz redukcji wymiarowej, dają impuls do tego by zacząć myśleć o weryfikacji empirycznej przewidywań CDT. O ile trudno tu mówić o wykorzystaniu naziemnych eksperymentów, to przewidywania dotyczące kosmologii wczesnego wszechświata rodzą pewne nadzieje na narzucenie więzów obserwacyjnych na przewidywania CDT.

Pierwszy krok w tym kierunku poczyniłem w moim artykule From causal dynamical triangulations to astronomical observationsEPL 119 (2017) no. 6, 60003 [arXiv:1503.08794], w którym rozważałem możliwość wykorzystania obserwacji mikrofalowego promieniowania tła do badania, przewidywanej w ramach CDT,  redukcji wymiarowej. Jak pokazały obliczenia, pewne szczególne (mało prawdopodobne) scenariusze ewolucji wczesnego wszechświata, uwzględniające przewidywania CDT, już dzisiaj można wykluczyć na postawie obserwacji astronomicznych. Dokonanie znaczącego postępu w tym kierunku w najbliższych latach, nie będzie jednak zadaniem łatwym.

Niezależnie jednak od możliwości weryfikacji empirycznej, zaawansowane symulacje komputerowe kwantowej czasoprzestrzeni, prowadzone w ramach Kauzalnych Dynamicznych Triangulacji, dają nam unikalną możliwość zrozumienia tego jak klasyczna czasoprzestrzeń może wyłaniać się z dynamiki ogromnej liczby kwantowych “cegiełek” na skali Plancka. Wszak jak pozostawił napisane na swojej tablicy Richard Feynman: “What I cannot create, I do not understand.”

© Jakub Mielczarek

Stany skupienia grawitacji

Ogólna Teoria Względności Einsteina przyzwyczaiła nas do myślenia o grawitacji w języku geometrycznej struktury jaką jest czterowymiarowa czasoprzestrzeń. Jednakże, coraz  większa liczba wyników badań nad kwantową naturą oddziaływań grawitacyjnych wskazuje na możliwość występowania różnych faz (stanów skupienia) pola grawitacyjnego. Czasoprzestrzenny stan skupienia jest jedną z kilku możliwości jakie obecnie znamy.

Czy ta różnorodność fazowa grawitacji powinna nas dziwić? Absolutnie nie. Występowanie faz jest jedną z podstawowych własności  układów złożonych (ang. complex systems). Połączenie dużej ilości stopni swobody (np. cząsteczek) oraz wprowadzenie pomiędzy nimi nieliniowego oddziaływania w sposób nieodłączny wiąże się z występowaniem jakościowo różnych sposobów wewnętrznej organizacji takiego układu, czyli faz. Ponadto, fazy te rozdzielone są przez ostre granice zwane przejściami fazowymi. Zachowanie to dotyczy nie tylko systemów dyskretnych ale również ciągłych układów fizycznych jakimi są pola  samooddziałujące (przykładem takiego pola jest pole grawitacyjne).

Z kwantowego punktu widzenia, pole grawitacyjne należy uznać za przykład układu złożonego czy też układu wielociałowego (ang. many-body system). „Atomy” przestrzeni lub czasoprzestrzeni, które wyłaniają się z kwantowych teorii grawitacji, mogą, poprzez

scientificamerican1008-44-I3
„Atomy” przestrzeni w Pętlowej Grawitacji Kwantowej. Źródło

wzajemne oddziaływanie, tworzyć makroskopowe konfiguracje o jakościowo różnych własnościach. W zależności od warunków w których znajdzie się pole grawitacyjne, może przyjąć ono jedną z kilku zidentyfikowanych dotychczas teoretycznie faz. Jest to zachowanie analogiczne do przypadku zbioru cząsteczek H_2O, który w zależności od temperatury otoczenia i zajmowanej objętości utworzy jeden z trzech stanów skupienia: ciekły, stały (lód) lub gazowy (para wodna).

Nic nie stoi na przeszkodzie by przeprowadzić stosowne eksperymenty i zaobserwować stany skupienia wody. Dla grawitacji,  z uwagi na niezwykle słabe sprzężenie pomiędzy materią a polem grawitacyjnym, taka możliwość obecnie nie istnieje. Wytworzenie stanów pola grawitacyjnego w których moglibyśmy spodziewać się wystąpienia nowej fazy wymagałoby ekstremalnych gęstości energii, prawdopodobnie możliwych do osiągnięcia jedynie w bardzo wczesnym Wszechświecie lub we wnętrzach czarnych dziur. Teoretyczna analiza struktury fazowej grawitacji jest również zadaniem niełatwym. Problem polega na tym, że zazwyczaj w badaniach nad kwantową grawitacją rozpatrujemy funkcję (np. hamiltonian) opisującą oddziaływanie pomiędzy pojedynczymi kwantami („atomami”) pola grawitacyjnego. Z analizy samej postaci tej funkcji praktycznie niemożliwe jest wyciągnięcie wniosków dotyczących struktury fazowej rozważanego układu. Wiąże się to z faktem, iż występowanie faz jest przykładem zjawiska emergentnego. Na tej samej zasadzie, znajomość potencjału oddziaływania pomiędzy dwiema cząsteczkami wody nie mówi nam jeszcze nic o stanach skupienia wody które wyłonią się w makroskopowych układach takich cząsteczek.

Jak więc możemy sobie z tym problemem poradzić? Istnieją dwie główne drogi: symulacje wielociałowe kwantowej grawitacji oraz teoria renormalizacji, której zastosowanie może również wymagać przeprowadzenia symulacji.  Przybliżę tutaj podejście pierwsze. Najbardziej zaawansowane badania tego typu prowadzi się obecnie w ramach tak zwanych Kauzalnych Dynamicznych Triangulacjami (ang. Causal Dynamical Triangulations – CDT).  Wyniki najnowszych badań w ramach CDT wskazują na występowanie trzech lub

pd
Trzy fazy czterowymiarowej grawitacji w CDT. Źródło

czterech (w zależności od tego jaki  tzw. parametr porządku jest badany) faz grawitacji. Jedną z nich jest geometryczna faza C opisująca, na odpowiednio dużych skalach, czterowymiarowy Wszechświat, zgodny  z OTW.  Zaobserwowano również sub-fazę fazy C w której ujawniają się pewne nowe, niegeometryczne własności, jak również zidentyfikowano dwie dodatkowe fazy A i B. W fazie A, pole grawitacyjne przyjmuje formę charakteryzującą się fraktalną strukturą polimerową (tzw. branched polymer). Natomiast, faza B (tzw. crumpled phase) wyróżnia się dążącą do nieskończoności liczbą wymiarów, odzwierciedlającą wysoką ilość połączeń pomiędzy tak zwanymi sympleksami, z których zbudowana jest konfiguracja pola grawitacyjnego. W fazie tej, wszystkie „atomy” czasoprzestrzeni stają się swoimi sąsiadami. Jest to zachowanie zupełnie odmiennie do tego obserwowanego w fazie geometrycznej w której każdy sympleks ma małą i średnio taką samą liczbę sąsiadów.  Dzięki tej własności, w fazie C, dobrze określone jest pojęcie lokalności, możemy wprowadzić układ współrzędnych i w konsekwencji dokonać interpretacji konfiguracji pola w języku czasoprzestrzeni. Taka interpretacja nie jest możliwa w zbitej fazie B, dlatego też określamy ją mianem fazy niegeometrycznej. Istnienie tego typu stanu grawitacji wyłoniło się również z symulacji przeprowadzonych w podejściu zwanym Quantum Graphity. W rozważanych modelach, zaobserwowano przejście fazowe od fazy niegeometrycznej do fazy geometrycznej wraz z obniżaniem temperatury układu. Proces taki przyjęło się określać mianem geometrogenezy.

Rodzi się oczywiście pytanie czy niegeometryczne stany skupienia grawitacji, takie jak obserwowane w CDT fazy A i B występują lub występowały gdzieś w naszym Wszechświecie? Tak jak już wspomniałem, z uwagi na to, że wytworzenie takich faz wymagałoby użycia ekstremalnych wartości energii, prawdopodobnie jedynymi miejscami gdzie możemy ich poszukiwać są albo wnętrza czarnych dziur lub też bardzo wczesne etapy ewolucji Wszechświata. Empiryczne badanie wnętrz czarnych dziur, na obecnym poziomie zrozumienia fizyki czarnych dziur, nie jest możliwe. Pozostaje jedynie szansa w obserwacjach kosmologicznych. Rozważa się modele w których w epoce Plancka zachodzi wspomniana geometrogeneza z fazy crumpled do fazy geometrycznej. Co więcej,  związane z tym przejście fazowe może cechować się tak zwanym zachowaniem krytycznym. To zaś może prowadzić do generowania pierwotnych zaburzeń kosmologicznych oraz, poprzez  mechanizm Kibble’a-Zurka, do tworzenia grawitacyjnych defektów topologicznych. Rysuje to pewne nadzieje odnośnie możliwości empirycznego badania fazowej różnorodności grawitacji. Jest to jednakże zagadnienie niezwykle zawiłe i prawdopodobnie ostatecznie będzie możliwe uzyskanie jedynie pewnych słabych ograniczeń obserwacyjnych. Dlatego też, podstawowym narzędziem do badania stanów skupienia grawitacji pozostają dalsze eksperymenty numeryczne z wykorzystaniem coraz to lepszych algorytmów i sprzętu komputerowego.

Chciałbym na koniec pokreślić, że zagadnienie struktury fazowej grawitacji jest dużo szersze niż tu omówiono i było w ostatnim czasie przedmiotem wielu analiz w ramach niezależnych podejściach do kwantowej grawitacji. Z konieczności, musiałem ograniczyć się tutaj do przytoczenia zaledwie kilku wybranych wyników. Dalsze przykłady można znaleźć w artykule Spacetime as a quantum many-body system  oraz w artykule Towards the map of quantum gravity (w rozdziale Phases of gravity i w literaturze tam cytowanej).

© Jakub Mielczarek

Wszechświat na komputerze kwantowym

Jednym z kierunków jakie rozwijam w prowadzonych przeze mnie aktualnie badaniach jest wykorzystanie komputerów kwantowych do symulowania fizyki na skali Plancka. Dla przypomnienia, długość Plancka, czyli l_{Pl} \approx 1.62 \cdot 10^{-35} m to najmniejsza, znana nam, skala fizyczna w “tkance” Wszechświata, na której istnienie wskazują rozważania teoretyczne. Fizykę opisującą rzeczywistość na skali Plancka nazywamy natomiast Kwantową Grawitacją. Niestety, z uwagi na obecny brak (pomimo wielu starań) możliwości empirycznego badania fizyki na skali Plancka, nie istnieje ugruntowana Kwantowa Teoria Grawitacji. Dysponujemy natomiast szeregiem teorii i modeli starających się uchwycić wiele aspektów kwantowej natury oddziaływań grawitacyjnych (przegląd wielu z nich można znaleźć np. w pracy Towards the map of quantum gravity).

Do kwestii empirycznego badania fizyki na skali Plancka możemy jednak podejść w trochę mniej bezpośredni sposób. Mianowicie, zakładając konkretny teoretyczny opis grawitacyjnych stopni swobody, możemy wykonać symulację rozważanego układu na skali Plancka i przeprowadzić na nim dowolne pomiary. Nie istnieją w takim przypadku ograniczenia  empiryczne wynikające z rozdzielczości urządzeń pomiarowych. Cała fizyka którą symulujemy znajduje się w pamięci superkomputera, do której posiadamy nieograniczony dostęp.  Najbardziej zaawansowane symulacje tego typu wykonuje się  obecnie w ramach podejścia zwanego Kauzalne Dynamiczne Triangulacje (ang. Causal Dynamical Triangulations – CDT).  W ramach CDT, symulowane są takie konfiguracje jak kwantowy Wszechświat zbudowany z nawet setek tysięcy elementarnych czasoprzestrzennych sympleksów.

Fig1
Kolaż obrazyjący symulowanie fizyki na skali Plancka na procesorze kwantowym. Wykorzystano zdjęcie procesora kwantowego firmy D-Wave oraz wizję artystyczną czasoprzestrzeni na skali Plancka

Symulacje o których mowa przeprowadzane są na powszechnie dzisiaj dostępnych superkomputerach klasycznych. Kwantowa natura oddziaływań grawitacyjnych musi być w związku z tym odpowiednio tłumaczona na język algorytmów klasycznych. Wykorzystanie komputerów kwantowych do symulowania kwantowej grawitacji pozwoliłoby proces ten wyeliminować. Mianowicie, symulacje układów kwantowych (takich jak kwantowa przestrzeń/czasoprzestrzeń) z wykorzystaniem komputerów kwantowych zasadniczo różni się od symulacji klasycznych. Komputery kwantowe pozwalają na “mapowanie” danego układu kwantowego na kwantowe stopnie swobony procesora kwantowego. Mówimy tu o tak zwanych dokładnych symulacjach (ang. exact simulations), które pozwalają imitować wyjściowy układ kwantowy. Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, imitacja wytworzona na procesorze kwantowym jest równoważna oryginalnemu układowi kwantowemu.

W moim niedawnym artykule Spin networks on adiabatic quantum computer oraz eseju Quantum Gravity on a Quantum Chip,  pokazuję, że wykorzystanie dostępnego komercyjnie  tzw. kwantowego annealer’a (wyżarzacza kwantowego)   firmy D-Wave daje możliwość symulowania fizyki na skali Plancka opisywanej przez sieci spinowe. Sieci spinowe rozpinają przestrzeń Hilberta podejścia do grawitacji kwantowej zwanego Pętlową Grawitacją Kwantową (ang. Loop Quantum Gravity – LQG).  Kwantowe stopnie swobody sieci spinowej są w przypadku procesora kwantowego D-Wave imitowane z wykorzystaniem stanów qubitowych realizowanych przez nadprzewodzące obwody kwantowe (bazujące o tzw. złącza Josephsona). Jak pokazano w ramach rozważanego modelu, adiabatyczne obliczenia kwantowe umożliwiają zidentyfikowanie fizycznych stanów teorii.

Infographic.png
Infografika obrazująca reprezentację sieci spinowych w ramach architektury procesora adiabatycznego komputera kwantowego D-Wave. Szczegóły w pracy Spin networks on adiabatic quantum computer.

Jednym z ważnych zagadnień, którego zbadanie mogą pozwolić symulacje kwantowe, jest tak zwana granica semi-klasyczna, czyli obszar w którym grawitacja kwantowa koresponduje z klasyczną teorią grawitacji, czyli Ogólną Teorią Względności. Wszystko wskazuje na to, że symulacje sieci spinowych na adiabatycznym komputerze kwantowym mogą niebawem umożliwić wykonanie pierwszego kroku w tym kierunku.

Potencjał i możliwe konsekwencje symulowania fizyki na skali Plancka są jednak dużo szersze. Kwantowe symulacje mogą nie tylko okazać się praktycznym narzędziem do badania fizyki na skali Plancka ale mogą również pomóc odsłonić głębszą naturę relacji pomiędzy grawitacją a teorią informacji kwantowej (jak np. kwantowa wersja hipotezy It from bit). Bardzo ciekawa możliwość w kontekście symulacji  kwantowych wiąże się z relacją pomiędzy grawitacją a splątaniem kwantowym. Mianowicie, akumulujące się wyniki rozważań teoretycznych, w szczególności  korespondencja AdS/CFT, zasada holograficzna, entropia splątania sieci tensorowych MERA czy też hipoteza EPR=ER, wskazują na możliwość interpretacji pola grawitacyjnego w zadanej objętości (ang. bulk) jako przejawu splątania kwantowego niżej-wymiarowego układu na brzegu (ang. boundary) tego obszaru. Nie koniecznie więc do symulowania kwantowej grawitacji musimy angażować grawitacyjne stopnie swobody. Możliwe, że wystarczą do tego kwantowe symulacje (konforemnych) teorii pola na brzegu układu. Wykonanie odpowiednich pomiarów splątania kwantowego teorii na brzegu umożliwi zrekonstruowanie konfiguracji pola grawitacyjnego wewnątrz tego obszaru.  

Korzyści płynące z symulacji fizyki na skali Plancka na komputerach kwantowych nie leżą wyłącznie po stronie nauk podstawowych. Nowe typy procesorów kwantowych mogą  okazać się niezbędne do symulowania złożonych systemów kwantowograwitacyjnych, co może okazać się inspiracją  do rozwoju technologicznego. Symbiotyczny rozwój kwantowej grawitacji oraz technologii kwantowych może również doprowadzić do wypracowania nowych rozwiązań w obszarze obliczeń kwantowych. Jako przykład przytoczyć można zastosowanie sieci spinowych jako bazy do przetwarzania informacji kwantowej. 

Pozwolę sobie na koniec wspomnieć, iż umiejętność symulowania kwantowych stopni swobody na skali Plancka może w przyszłości umożliwić badanie od podstaw procesu formowania struktur we Wszechświecie. Idąc dalej, uwzględnienie również innych typów pól pozwoli symulować realistyczne modele Wszechświata. Wraz z upływem czasu i rozwojem technologii obliczeń kwantowych, możliwe będzie uwzględnienie coraz to większej ilości detali. A być może, któregoś dnia będziemy również w stanie symulować zaprojektowane przez nas Superwszechświaty, wykraczające swoją złożonością poza Ten nam znany.

© Jakub Mielczarek